Номер 24, страница 12 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 24, страница 12.

24. Сократите дробь:

а) $\frac{10xz}{15yz}$;

б) $\frac{6ab^2}{9bc^2}$;

в) $\frac{2ay^3}{-4a^2b}$;

г) $\frac{-6p^2q}{-2q^3}$;

д) $\frac{24a^2c^2}{36ac}$;

е) $\frac{63x^2y^3}{42x^6y^4}$.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{10xz}{15yz}$, мы находим наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов и общие переменные для числителя и знаменателя.
Коэффициенты 10 и 15 имеют НОД, равный 5. Разделим их на 5: $\frac{10}{15} = \frac{2}{3}$.
В числителе и знаменателе есть общая переменная $z$, на которую мы также можем сократить дробь.
Выполним сокращение: $\frac{10xz}{15yz} = \frac{2 \cdot 5 \cdot x \cdot z}{3 \cdot 5 \cdot y \cdot z} = \frac{2x}{3y}$.
Ответ: $\frac{2x}{3y}$.

б) Сокращаем дробь $\frac{6ab^2}{9bc^2}$.
НОД коэффициентов 6 и 9 равен 3. Сокращаем на 3: $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.
Общий множитель переменных — $b$. Сокращаем на $b$.
Выполним сокращение: $\frac{6ab^2}{9bc^2} = \frac{2 \cdot 3 \cdot a \cdot b \cdot b}{3 \cdot 3 \cdot b \cdot c^2} = \frac{2ab}{3c^2}$.
Ответ: $\frac{2ab}{3c^2}$.

в) Сокращаем дробь $\frac{2ay^3}{-4a^2b}$.
Сокращаем коэффициенты $\frac{2}{-4}$ на 2, получаем $-\frac{1}{2}$.
Сокращаем переменные. Общий множитель — $a$. Используя правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получаем $\frac{a}{a^2} = a^{1-2} = a^{-1} = \frac{1}{a}$.
Объединяем результаты: $\frac{2ay^3}{-4a^2b} = \frac{2}{-4} \cdot \frac{a}{a^2} \cdot \frac{y^3}{b} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{a} \cdot \frac{y^3}{b} = -\frac{y^3}{2ab}$.
Ответ: $-\frac{y^3}{2ab}$.

г) Сокращаем дробь $\frac{-6p^2q}{-2q^3}$.
Сокращаем коэффициенты $\frac{-6}{-2}$, получаем 3 (минус на минус дает плюс).
Сокращаем переменные. Общий множитель — $q$. По правилу деления степеней: $\frac{q}{q^3} = q^{1-3} = q^{-2} = \frac{1}{q^2}$.
Объединяем результаты: $\frac{-6p^2q}{-2q^3} = 3 \cdot p^2 \cdot \frac{1}{q^2} = \frac{3p^2}{q^2}$.
Ответ: $\frac{3p^2}{q^2}$.

д) Сокращаем дробь $\frac{24a^2c^2}{36ac}$.
НОД коэффициентов 24 и 36 равен 12. Сокращаем на 12: $\frac{24}{36} = \frac{2}{3}$.
Сокращаем переменные. Для $a$: $\frac{a^2}{a} = a$. Для $c$: $\frac{c^2}{c} = c$.
Объединяем результаты: $\frac{24a^2c^2}{36ac} = \frac{2 \cdot 12 \cdot a^2 \cdot c^2}{3 \cdot 12 \cdot a \cdot c} = \frac{2ac}{3}$.
Ответ: $\frac{2ac}{3}$.

е) Сокращаем дробь $\frac{63x^2y^3}{42x^6y^4}$.
НОД коэффициентов 63 и 42 равен 21. Сокращаем на 21: $\frac{63}{42} = \frac{3}{2}$.
Сокращаем переменные по правилу деления степеней:
Для $x$: $\frac{x^2}{x^6} = x^{2-6} = x^{-4} = \frac{1}{x^4}$.
Для $y$: $\frac{y^3}{y^4} = y^{3-4} = y^{-1} = \frac{1}{y}$.
Объединяем результаты: $\frac{63}{42} \cdot \frac{x^2}{x^6} \cdot \frac{y^3}{y^4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x^4} \cdot \frac{1}{y} = \frac{3}{2x^4y}$.
Ответ: $\frac{3}{2x^4y}$.