Страница 8 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Из формулы $v=\frac{s}{t}$ выразите: переменную s через v и t; переменную t через s и v.

б) Из формулы $\rho=\frac{m}{V}$ выразите переменную V через $\rho$ и m.

a) Чтобы выразить переменную $s$ из формулы $v = \frac{s}{t}$, мы должны изолировать $s$. Исходная формула представляет собой пропорцию. Мы можем рассматривать $v$ как $v/1$.

$v = \frac{s}{t}$

Чтобы найти делимое ($s$), нужно частное ($v$) умножить на делитель ($t$). Для этого умножим обе части уравнения на $t$:

$v \cdot t = \frac{s}{t} \cdot t$

$s = v \cdot t$

Теперь выразим переменную $t$ из той же формулы $v = \frac{s}{t}$. Чтобы найти делитель ($t$), нужно делимое ($s$) разделить на частное ($v$). Для этого сначала умножим обе части на $t$, а затем разделим на $v$:

$v \cdot t = s$

$\frac{v \cdot t}{v} = \frac{s}{v}$

$t = \frac{s}{v}$

Ответ: $s = v \cdot t$; $t = \frac{s}{v}$.

б) Дана формула плотности $\rho = \frac{m}{V}$. Нам нужно выразить объем $V$ через плотность $\rho$ и массу $m$.

По аналогии с предыдущим пунктом, чтобы найти знаменатель ($V$), нужно числитель ($m$) разделить на значение дроби ($\rho$). Выполним алгебраические преобразования. Сначала умножим обе части уравнения на $V$, чтобы избавиться от знаменателя:

$\rho \cdot V = \frac{m}{V} \cdot V$

$\rho \cdot V = m$

Теперь разделим обе части на $\rho$, чтобы изолировать $V$:

$\frac{\rho \cdot V}{\rho} = \frac{m}{\rho}$

$V = \frac{m}{\rho}$

Ответ: $V = \frac{m}{\rho}$.

9. a) Составьте дробь, числитель которой — произведение переменных x и y, а знаменатель — их сумма.

б) Составьте дробь, числитель которой — разность переменных a и b, а знаменатель — их произведение.

в) Составьте дробь, числитель которой — сумма переменных c и d, а знаменатель — их разность.

а) По условию, числитель дроби является произведением переменных $x$ и $y$. Произведение этих переменных записывается как $xy$. Знаменатель дроби является их суммой, которая записывается как $x+y$. Таким образом, искомая дробь составляется из этих двух выражений.
Ответ: $\frac{xy}{x+y}$

б) Согласно условию, числитель дроби — это разность переменных $a$ и $b$. Это выражение записывается как $a-b$. Знаменатель дроби — это их произведение, которое записывается как $ab$. Составим дробь, используя эти выражения.
Ответ: $\frac{a-b}{ab}$

в) В этом пункте числителем дроби является сумма переменных $c$ и $d$, что записывается в виде выражения $c+d$. Знаменателем является их разность, то есть $c-d$. Соединив числитель и знаменатель, получаем искомую дробь.
Ответ: $\frac{c+d}{c-d}$

11. Укажите допустимые значения переменной в выражении:

а) $x^2 - 8x + 9;$

б) $\frac{1}{6x-3};$

в) $\frac{3x-6}{7};$

г) $\frac{x^2-8}{4x(x+1)};$

д) $\frac{x-5}{x^2+25}-3x;$

е) $\frac{x}{x+8}+\frac{x-8}{x}.$

а) Выражение $x^2 - 8x + 9$ является многочленом. Многочлены определены для любых действительных значений переменной, так как они не содержат операций деления на переменную или извлечения корня четной степени, которые могли бы наложить ограничения. Следовательно, переменная $x$ может принимать любое значение.

Ответ: $x$ – любое число.

б) Выражение $\frac{1}{6x-3}$ является дробным. Допустимыми значениями переменной для дроби являются все значения, при которых ее знаменатель не равен нулю. Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль, и исключим его.

$6x - 3 = 0$

$6x = 3$

$x = \frac{3}{6}$

$x = \frac{1}{2}$

Таким образом, выражение определено для всех значений переменной $x$, кроме $x = \frac{1}{2}$.

Ответ: все числа, кроме $x = \frac{1}{2}$.

в) В выражении $\frac{3x-6}{7}$ знаменатель равен 7. Так как знаменатель является константой, не равной нулю, и не зависит от переменной $x$, то никаких ограничений на допустимые значения $x$ не накладывается. Выражение определено для любого $x$.

Ответ: $x$ – любое число.

г) В выражении $\frac{x^2 - 8}{4x(x+1)}$ знаменатель не должен быть равен нулю. Найдем значения $x$, которые обращают знаменатель в ноль, чтобы исключить их.

$4x(x+1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:

$4x = 0 \implies x = 0$

$x+1 = 0 \implies x = -1$

Следовательно, допустимыми значениями переменной являются все числа, кроме 0 и -1.

Ответ: все числа, кроме $x = 0$ и $x = -1$.

д) Выражение $\frac{x-5}{x^2 + 25} - 3x$ является разностью дроби и многочлена. Многочлен $-3x$ определен для всех $x$. Дробь $\frac{x-5}{x^2 + 25}$ определена, если ее знаменатель не равен нулю. Проверим, может ли знаменатель $x^2 + 25$ равняться нулю.

$x^2 + 25 = 0$

$x^2 = -25$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то есть $x^2 \ge 0$. Следовательно, уравнение $x^2 = -25$ не имеет действительных решений. Это означает, что знаменатель $x^2 + 25$ никогда не равен нулю. Таким образом, все выражение определено для любого действительного значения $x$.

Ответ: $x$ – любое число.

е) Выражение $\frac{x}{x+8} + \frac{x-8}{x}$ представляет собой сумму двух дробей. Оно имеет смысл, когда знаменатель каждой из дробей не равен нулю. Установим ограничения для каждой дроби.

Для первой дроби $\frac{x}{x+8}$ знаменатель $x+8$ не должен быть равен нулю:

$x+8 \neq 0 \implies x \neq -8$

Для второй дроби $\frac{x-8}{x}$ знаменатель $x$ не должен быть равен нулю:

$x \neq 0$

Чтобы все выражение было определено, оба условия должны выполняться одновременно. Следовательно, переменная $x$ не может принимать значения -8 и 0.

Ответ: все числа, кроме $x = -8$ и $x = 0$.

13. Найдите область определения функции:

а) $y = \frac{1}{x-2}$;

б) $y = \frac{2x+3}{x(x+1)}$;

в) $y = x + \frac{1}{x+5}$.

а) Область определения функции – это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. В данной функции $y = \frac{1}{x-2}$ присутствует деление на выражение, содержащее переменную. Поскольку деление на ноль не определено, знаменатель дроби не может быть равен нулю. Найдем значение $x$, которое необходимо исключить из области определения, решив уравнение:
$x - 2 = 0$
$x = 2$
Следовательно, областью определения функции являются все действительные числа, кроме $x=2$.
Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

б) В функции $y = \frac{2x+3}{x(x+1)}$ знаменатель дроби $x(x+1)$ не должен быть равен нулю. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:
1) $x \neq 0$
2) $x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$
Таким образом, область определения функции включает все действительные числа, за исключением $x=-1$ и $x=0$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; +\infty)$.

в) Данная функция $y = x + \frac{1}{x+5}$ является суммой двух слагаемых: $x$ и $\frac{1}{x+5}$. Первое слагаемое, $x$, определено для любых действительных значений $x$. Для второго слагаемого, которое является дробью, необходимо, чтобы ее знаменатель не был равен нулю. Найдем недопустимое значение $x$, приравняв знаменатель к нулю:
$x + 5 = 0$
$x = -5$
Следовательно, область определения функции – это все действительные числа, кроме $x=-5$.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-5; +\infty)$.

6. Перечертите в тетрадь и заполните таблицу:

Значения $x$: $-13$, $-5$, $-0,2$, $0$, $\frac{1}{17}$, $1$, $5\frac{2}{3}$, $7$

Выражение: $\frac{x+5}{x-3}$

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо для каждого значения x из верхней строки вычислить значение выражения $\frac{x+5}{x-3}$ и записать результат в соответствующую ячейку нижней строки.

При x = -13:

Подставляем значение $x = -13$ в выражение:
$\frac{-13+5}{-13-3} = \frac{-8}{-16} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

При x = -5:

Подставляем значение $x = -5$ в выражение:
$\frac{-5+5}{-5-3} = \frac{0}{-8} = 0$

Ответ: 0

При x = -0,2:

Подставляем значение $x = -0,2$ в выражение:
$\frac{-0,2+5}{-0,2-3} = \frac{4,8}{-3,2} = -\frac{48}{32} = -\frac{3 \cdot 16}{2 \cdot 16} = -\frac{3}{2} = -1,5$

Ответ: -1,5

При x = 0:

Подставляем значение $x = 0$ в выражение:
$\frac{0+5}{0-3} = \frac{5}{-3} = -1\frac{2}{3}$

Ответ: $-1\frac{2}{3}$

При x = $\frac{1}{17}$:

Подставляем значение $x = \frac{1}{17}$ в выражение:
$\frac{\frac{1}{17}+5}{\frac{1}{17}-3} = \frac{\frac{1}{17}+\frac{5 \cdot 17}{17}}{\frac{1}{17}-\frac{3 \cdot 17}{17}} = \frac{\frac{1+85}{17}}{\frac{1-51}{17}} = \frac{\frac{86}{17}}{\frac{-50}{17}} = \frac{86}{17} \cdot \left(-\frac{17}{50}\right) = -\frac{86}{50} = -\frac{43}{25}$

Ответ: $-\frac{43}{25}$

При x = 1:

Подставляем значение $x = 1$ в выражение:
$\frac{1+5}{1-3} = \frac{6}{-2} = -3$

Ответ: -3

При x = $5\frac{2}{3}$:

Сначала переведем смешанное число в неправильную дробь: $x = 5\frac{2}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{17}{3}$.
Подставляем полученное значение в выражение:
$\frac{\frac{17}{3}+5}{\frac{17}{3}-3} = \frac{\frac{17}{3}+\frac{15}{3}}{\frac{17}{3}-\frac{9}{3}} = \frac{\frac{17+15}{3}}{\frac{17-9}{3}} = \frac{\frac{32}{3}}{\frac{8}{3}} = \frac{32}{3} \cdot \frac{3}{8} = \frac{32}{8} = 4$

Ответ: 4

При x = 7:

Подставляем значение $x = 7$ в выражение:
$\frac{7+5}{7-3} = \frac{12}{4} = 3$

Ответ: 3

Заполненная таблица:

8. Из городов $A$ и $B$, расстояние между которыми $s$ км, вышли в одно и то же время навстречу друг другу два поезда. Первый шёл со скоростью $v_1$ км/ч, а второй — со скоростью $v_2$ км/ч. Через $t$ ч они встретились. Выразите переменную $t$ через $s$, $v_1$ и $v_2$. Найдите значение $t$, если известно, что:

a) $s = 250, v_1 = 60, v_2 = 40;$

б) $s = 310, v_1 = 75, v_2 = 80.$

Для того чтобы выразить переменную t через s, v₁ и v₂, воспользуемся понятием скорости сближения. Когда два объекта движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей.

Скорость сближения поездов: $v_{сбл} = v_1 + v_2$.

Время t, через которое поезда встретятся, равно расстоянию s между ними, деленному на скорость их сближения.

Таким образом, формула для нахождения времени встречи: $t = \frac{s}{v_1 + v_2}$

Теперь найдем значение t для заданных условий.

а) При $s = 250$ км, $v_1 = 60$ км/ч, $v_2 = 40$ км/ч:

Подставим значения в выведенную формулу: $t = \frac{250}{60 + 40} = \frac{250}{100} = 2.5$ ч.

Ответ: 2,5 ч.

б) При $s = 310$ км, $v_1 = 75$ км/ч, $v_2 = 80$ км/ч:

Подставим значения в формулу: $t = \frac{310}{75 + 80} = \frac{310}{155} = 2$ ч.

Ответ: 2 ч.

10. При каких значениях переменной имеет смысл рациональное выражение:

а) $\frac{x}{x-2}$;

б) $\frac{b+4}{b^2+7}$;

в) $\frac{y^2-1}{y} + \frac{y}{y-3}$;

г) $\frac{a+10}{a(a-1)} - 1?$

а) Рациональное выражение $\frac{x}{x-2}$ имеет смысл тогда, когда его знаменатель не равен нулю. Знаменателем в данном выражении является $x-2$.

Чтобы найти значения переменной, при которых выражение не имеет смысла, нужно приравнять знаменатель к нулю и решить полученное уравнение:

$x - 2 = 0$

$x = 2$

Таким образом, при $x=2$ знаменатель обращается в ноль, и на ноль делить нельзя. Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме 2.

Ответ: выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x = 2$.

б) Рациональное выражение $\frac{b+4}{b^2+7}$ имеет смысл тогда, когда его знаменатель $b^2+7$ не равен нулю.

Рассмотрим выражение в знаменателе. Квадрат любого действительного числа $b$ является неотрицательной величиной, то есть $b^2 \ge 0$.

Если к неотрицательному числу прибавить положительное число 7, результат всегда будет положительным:

$b^2 + 7 \ge 0 + 7$

$b^2 + 7 \ge 7$

Поскольку знаменатель $b^2+7$ всегда больше или равен 7, он никогда не может быть равен нулю. Следовательно, выражение имеет смысл при любых значениях переменной $b$.

Ответ: выражение имеет смысл при любых значениях $b$.

в) Выражение $\frac{y^2-1}{y} + \frac{y}{y-3}$ является суммой двух рациональных дробей. Оно имеет смысл тогда, когда знаменатели обеих дробей одновременно не равны нулю.

1. Знаменатель первой дроби, $y$, не должен быть равен нулю: $y \neq 0$.

2. Знаменатель второй дроби, $y-3$, не должен быть равен нулю:

$y - 3 \neq 0$

$y \neq 3$

Оба условия должны выполняться одновременно. Таким образом, переменная $y$ не может принимать значения 0 и 3.

Ответ: выражение имеет смысл при всех значениях $y$, кроме $y=0$ и $y=3$.

г) Выражение $\frac{a+10}{a(a-1)} - 1$ имеет смысл тогда, когда знаменатель его дробной части не равен нулю. Знаменатель дроби равен $a(a-1)$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Чтобы знаменатель не был равен нулю, необходимо, чтобы каждый из его множителей не был равен нулю.

1. Первый множитель: $a \neq 0$.

2. Второй множитель: $a-1 \neq 0$, что означает $a \neq 1$.

Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $a$, за исключением $a=0$ и $a=1$.

Ответ: выражение имеет смысл при всех значениях $a$, кроме $a=0$ и $a=1$.

12. Найдите допустимые значения переменной в выражении:

а) $\frac{5y-8}{11}$;

б) $\frac{25}{y-9}$;

в) $\frac{y^2+1}{y^2-2y}$;

г) $\frac{y-10}{y^2+3}$;

д) $\frac{y}{y-6} + \frac{15}{y+6}$;

е) $\frac{32}{y} - \frac{y+1}{y+7}$.

а) Допустимые значения переменной (область определения) для выражения $\frac{5y-8}{11}$ — это все значения переменной $y$, при которых выражение имеет смысл. Данное выражение представляет собой дробь, знаменатель которой равен 11. Так как знаменатель не равен нулю ($11 \neq 0$) и не зависит от переменной $y$, никаких ограничений на значения $y$ не накладывается.

Ответ: $y$ — любое число.

б) В выражении $\frac{25}{y-9}$ знаменатель дроби равен $y-9$. Деление на ноль не определено, поэтому знаменатель не может быть равен нулю. Найдем значения $y$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$y-9 = 0$

$y = 9$

Следовательно, переменная $y$ не может принимать значение 9.

Ответ: все числа, кроме $y=9$.

в) В выражении $\frac{y^2+1}{y^2-2y}$ знаменатель равен $y^2-2y$. Знаменатель не должен быть равен нулю. Решим уравнение:

$y^2-2y = 0$

Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$y(y-2) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$y=0$ или $y-2=0$

$y=0$ или $y=2$

Таким образом, допустимыми являются все значения $y$, кроме 0 и 2.

Ответ: все числа, кроме $y=0$ и $y=2$.

г) В выражении $\frac{y-10}{y^2+3}$ знаменатель равен $y^2+3$. Проверим, может ли знаменатель быть равен нулю:

$y^2+3 = 0$

$y^2 = -3$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($y^2 \ge 0$). Следовательно, уравнение $y^2 = -3$ не имеет действительных корней. Это означает, что знаменатель $y^2+3$ никогда не равен нулю при любых действительных значениях $y$. Ограничений на переменную $y$ нет.

Ответ: $y$ — любое число.

д) Выражение $\frac{y}{y-6} + \frac{15}{y+6}$ является суммой двух дробей. Чтобы выражение имело смысл, знаменатель каждой дроби не должен быть равен нулю.

1. Для первой дроби $\frac{y}{y-6}$ знаменатель $y-6 \neq 0$, откуда $y \neq 6$.

2. Для второй дроби $\frac{15}{y+6}$ знаменатель $y+6 \neq 0$, откуда $y \neq -6$.

Оба условия должны выполняться одновременно.

Ответ: все числа, кроме $y=6$ и $y=-6$.

е) Выражение $\frac{32}{y} - \frac{y+1}{y+7}$ является разностью двух дробей. Знаменатель каждой дроби должен быть отличен от нуля.

1. Для первой дроби $\frac{32}{y}$ знаменатель $y \neq 0$.

2. Для второй дроби $\frac{y+1}{y+7}$ знаменатель $y+7 \neq 0$, откуда $y \neq -7$.

Следовательно, переменная $y$ не может принимать значения 0 и -7.

Ответ: все числа, кроме $y=0$ и $y=-7$.

14. При каком значении переменной значение дроби $ \frac{x-3}{5} $ равно:

а) 1;

б) 0;

в) -1;

г) 3?

а) Чтобы найти значение переменной, при котором дробь $\frac{x-3}{5}$ равна 1, необходимо составить и решить уравнение. Приравняем дробь к 1:
$\frac{x-3}{5} = 1$
Умножим обе части уравнения на 5, чтобы избавиться от знаменателя:
$x - 3 = 1 \cdot 5$
$x - 3 = 5$
Теперь перенесём -3 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный (сложение 3 к обеим частям):
$x = 5 + 3$
$x = 8$
Ответ: 8

б) Чтобы найти значение переменной, при котором дробь равна 0, приравняем её к нулю:
$\frac{x-3}{5} = 0$
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Знаменатель равен 5, что не равно нулю, поэтому нам достаточно приравнять числитель к нулю:
$x - 3 = 0$
Перенесём -3 в правую часть:
$x = 3$
Ответ: 3

в) Чтобы найти значение переменной, при котором дробь равна -1, решим соответствующее уравнение:
$\frac{x-3}{5} = -1$
Умножим обе части уравнения на 5:
$x - 3 = -1 \cdot 5$
$x - 3 = -5$
Перенесём -3 в правую часть:
$x = -5 + 3$
$x = -2$
Ответ: -2

г) Чтобы найти значение переменной, при котором дробь равна 3, решим уравнение:
$\frac{x-3}{5} = 3$
Умножим обе части уравнения на 5:
$x - 3 = 3 \cdot 5$
$x - 3 = 15$
Перенесём -3 в правую часть:
$x = 15 + 3$
$x = 18$
Ответ: 18