Номер 65, страница 20 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 65, страница 20.

65. Преобразуйте выражение:

а) $ \frac{x^2}{x^2 - 16} - \frac{8(x-2)}{x^2 - 16} $

б) $ \frac{64 - 2ab}{(a-8)^2} - \frac{2ab - a^2}{(8-a)^2} $

а) Чтобы преобразовать данное выражение, выполним вычитание дробей. Так как знаменатели у дробей одинаковые, мы можем вычесть их числители.

$\frac{x^2}{x^2 - 16} - \frac{8(x - 2)}{x^2 - 16} = \frac{x^2 - 8(x - 2)}{x^2 - 16}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{x^2 - 8x + 16}{x^2 - 16}$

Теперь заметим, что числитель представляет собой полный квадрат разности, а знаменатель — разность квадратов. Разложим их на множители:

Числитель: $x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2$.
Знаменатель: $x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$.

Подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$\frac{(x - 4)^2}{(x - 4)(x + 4)}$

Сократим общий множитель $(x - 4)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x \neq 4$):

$\frac{x - 4}{x + 4}$

Ответ: $\frac{x - 4}{x + 4}$.

б) Рассмотрим выражение и преобразуем его. В первую очередь обратим внимание на знаменатели дробей: $(a - 8)^2$ и $(8 - a)^2$.

Так как $(8 - a) = -(a - 8)$, то их квадраты равны:

$(8 - a)^2 = (-(a - 8))^2 = (-1)^2 \cdot (a - 8)^2 = (a - 8)^2$.

Следовательно, дроби имеют одинаковые знаменатели. Мы можем выполнить вычитание, объединив числители:

$\frac{64 - 2ab}{(a - 8)^2} - \frac{2ab - a^2}{(8 - a)^2} = \frac{64 - 2ab}{(a - 8)^2} - \frac{2ab - a^2}{(a - 8)^2} = \frac{(64 - 2ab) - (2ab - a^2)}{(a - 8)^2}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{64 - 2ab - 2ab + a^2}{(a - 8)^2} = \frac{a^2 - 4ab + 64}{(a - 8)^2}$

Дальнейшее упрощение выражения невозможно, так как числитель и знаменатель не имеют общих множителей в общем виде.

Ответ: $\frac{a^2 - 4ab + 64}{(a - 8)^2}$.