Номер 64, страница 20 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 64, страница 20.

64. Упростите выражение:

а) $\frac{x^2}{(x-5)^2} - \frac{25}{(5-x)^2}$

б) $\frac{x^2+25}{(x-5)^3} + \frac{10x}{(5-x)^3}$

а)

Исходное выражение: $\frac{x^2}{(x-5)^2} - \frac{25}{(5-x)^2}$.

Для того чтобы упростить выражение, приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что выражение в знаменателе второй дроби $(5-x)^2$ можно преобразовать, используя свойство квадрата числа: $(a-b)^2 = (b-a)^2$. Это верно, так как $(5-x)^2 = (-(x-5))^2 = (-1)^2 \cdot (x-5)^2 = (x-5)^2$.

Теперь мы можем переписать исходное выражение, заменив знаменатель второй дроби:

$\frac{x^2}{(x-5)^2} - \frac{25}{(x-5)^2}$

Так как знаменатели дробей одинаковы, мы можем выполнить вычитание числителей:

$\frac{x^2-25}{(x-5)^2}$

Числитель $x^2-25$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2-25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)$

Подставим разложенный числитель обратно в дробь:

$\frac{(x-5)(x+5)}{(x-5)^2}$

Сократим общий множитель $(x-5)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x-5 \neq 0$, то есть $x \neq 5$):

$\frac{x+5}{x-5}$

Ответ: $\frac{x+5}{x-5}$

б)

Исходное выражение: $\frac{x^2+25}{(x-5)^3} + \frac{10x}{(5-x)^3}$.

Преобразуем знаменатель второй дроби. Используем свойство нечетной степени: $(a-b)^3 = -(b-a)^3$. Это верно, так как $(5-x)^3 = (-(x-5))^3 = (-1)^3 \cdot (x-5)^3 = -(x-5)^3$.

Подставим это преобразование в исходное выражение:

$\frac{x^2+25}{(x-5)^3} + \frac{10x}{-(x-5)^3}$

Знак "плюс" перед второй дробью меняется на "минус":

$\frac{x^2+25}{(x-5)^3} - \frac{10x}{(x-5)^3}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, объединим дроби:

$\frac{x^2+25-10x}{(x-5)^3}$

Перегруппируем слагаемые в числителе, чтобы увидеть знакомую формулу:

$\frac{x^2-10x+25}{(x-5)^3}$

Выражение в числителе $x^2-10x+25$ является полным квадратом разности. Применим формулу $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = (x-5)^2$

Подставим полученный квадрат разности в числитель дроби:

$\frac{(x-5)^2}{(x-5)^3}$

Сократим дробь на общий множитель $(x-5)^2$ (при условии, что $x-5 \neq 0$, то есть $x \neq 5$):

$\frac{1}{x-5}$

Ответ: $\frac{1}{x-5}$