Номер 192, страница 48 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

8. Функция y=k/x и её график. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 192, страница 48.

192. Определите знак числа $k$, зная, что график функции $y = \frac{k}{x}$ расположен:

а) в первой и третьей координатных четвертях;

б) во второй и четвёртой координатных четвертях.

Функция $y = \frac{k}{x}$ является обратной пропорциональностью, её график — гипербола. Расположение ветвей гиперболы на координатной плоскости зависит от знака коэффициента $k$.

Из уравнения функции мы можем выразить $k$: $k = x \cdot y$. Это означает, что для любой точки $(x, y)$, принадлежащей графику функции, произведение её координат равно $k$. Таким образом, знак $k$ совпадает со знаком произведения $xy$.

Рассмотрим знаки координат в каждой четверти:

• I четверть: $x > 0$, $y > 0 \Rightarrow xy > 0$
• II четверть: $x < 0$, $y > 0 \Rightarrow xy < 0$
• III четверть: $x < 0$, $y < 0 \Rightarrow xy > 0$
• IV четверть: $x > 0$, $y < 0 \Rightarrow xy < 0$

Теперь определим знак $k$ для каждого случая.

а) в первой и третьей координатных четвертях;

Если график функции расположен в первой и третьей координатных четвертях, то для любой точки на графике произведение координат $xy$ будет положительным. В первой четверти $x > 0$ и $y > 0$, поэтому $xy > 0$. В третьей четверти $x < 0$ и $y < 0$, поэтому $xy > 0$. Поскольку $k = xy$, то в обоих случаях $k$ должен быть положительным.
Ответ: $k > 0$.

б) во второй и четвёртой координатных четвертях.

Если график функции расположен во второй и четвёртой координатных четвертях, то для любой точки на графике произведение координат $xy$ будет отрицательным. Во второй четверти $x < 0$ и $y > 0$, поэтому $xy < 0$. В четвёртой четверти $x > 0$ и $y < 0$, поэтому $xy < 0$. Поскольку $k = xy$, то в обоих случаях $k$ должен быть отрицательным.
Ответ: $k < 0$.