Номер 187, страница 47 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

8. Функция y=k/x и её график. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 187, страница 47.

187. Решите графически уравнение:

а) $\frac{8}{x} = x^2$;

б) $\frac{8}{x} = x^3$.

а)

Для того чтобы решить уравнение $\frac{8}{x} = x^2$ графически, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y_1 = \frac{8}{x}$ и $y_2 = x^2$. Решением уравнения будет абсцисса (координата $x$) точки их пересечения.

1. Построим график функции $y_1 = \frac{8}{x}$. Это обратная пропорциональность, её график — гипербола. Поскольку коэффициент $8$ положителен, ветви гиперболы находятся в I и III координатных четвертях.

2. Построим график функции $y_2 = x^2$. Это квадратичная функция, её график — парабола. Вершина параболы находится в начале координат $(0, 0)$, а ветви направлены вверх. График расположен в I и II координатных четвертях.

3. Найдем точку пересечения графиков. Так как парабола ($y=x^2$) находится в I и II четвертях, а гипербола ($y=8/x$) — в I и III, их пересечение возможно только в I четверти, где $x>0$.

Для нахождения точки пересечения можно составить таблицу значений для обеих функций:
Для $y_1 = \frac{8}{x}$:

• при $x=1, y=8$
• при $x=2, y=4$
• при $x=4, y=2$

Для $y_2 = x^2$:

• при $x=1, y=1$
• при $x=2, y=4$
• при $x=3, y=9$

Из таблиц видно, что при $x=2$ значения обеих функций совпадают и равны 4. Таким образом, графики пересекаются в точке $(2, 4)$. Абсцисса этой точки и является решением уравнения.

Алгебраическая проверка: $\frac{8}{2} = 4$ и $2^2 = 4$. Равенство $4=4$ верное.

Ответ: $x=2$.

б)

Для графического решения уравнения $\frac{8}{x} = x^3$ построим в одной системе координат графики функций $y_1 = \frac{8}{x}$ и $y_2 = x^3$. Решением уравнения будут абсциссы точек их пересечения.

1. График функции $y_1 = \frac{8}{x}$ — это гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях.

2. График функции $y_2 = x^3$ — это кубическая парабола, проходящая через начало координат и расположенная также в I и III координатных четвертях.

3. Найдем точки пересечения. Поскольку оба графика расположены в I и III четвертях, они могут пересекаться в обеих этих четвертях. Заметим, что обе функции нечётные ($f(-x) = -f(x)$), поэтому их графики симметричны относительно начала координат. Это означает, что если $(x_0, y_0)$ является точкой пересечения, то и $(-x_0, -y_0)$ также будет точкой пересечения.

Построим графики и найдем точку пересечения в I четверти.
При $x=1$: $y_1 = \frac{8}{1} = 8$, а $y_2 = 1^3 = 1$. График гиперболы выше.
При $x=2$: $y_1 = \frac{8}{2} = 4$, а $y_2 = 2^3 = 8$. График кубической параболы выше.
Поскольку на отрезке $[1, 2]$ непрерывные графики поменялись взаимным расположением, точка пересечения находится между $x=1$ и $x=2$.

Графический метод дает приблизительное значение. Для нахождения точного значения решим уравнение алгебраически (при условии $x \neq 0$):
$\frac{8}{x} = x^3$
$8 = x \cdot x^3$
$x^4 = 8$
Это уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = \sqrt[4]{8}$ и $x_2 = -\sqrt[4]{8}$.

Графический анализ подтверждает наличие двух корней: одного положительного ($x \approx 1.68$) и одного отрицательного ($x \approx -1.68$), симметричных относительно нуля.

Ответ: $x_1 = \sqrt[4]{8}, x_2 = -\sqrt[4]{8}$.