Страница 58 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

245. Докажите тождество

$ \frac{1}{p-2q} + \frac{6q}{4q^2-p^2} - \frac{2}{p+2q} = -\frac{1}{2p} \cdot \left(\frac{p^2+4q^2}{p^2-4q^2} + 1\right) $

Для доказательства тождества преобразуем его левую и правую части по отдельности и покажем, что они равны одному и тому же выражению.

Преобразование левой части:

$ \frac{1}{p-2q} + \frac{6q}{4q^2 - p^2} - \frac{2}{p+2q} $

Заметим, что знаменатель второй дроби $4q^2 - p^2$ можно разложить по формуле разности квадратов и преобразовать: $4q^2 - p^2 = (2q-p)(2q+p) = -(p-2q)(p+2q)$. Подставим это в выражение:

$ \frac{1}{p-2q} + \frac{6q}{-(p-2q)(p+2q)} - \frac{2}{p+2q} = \frac{1}{p-2q} - \frac{6q}{(p-2q)(p+2q)} - \frac{2}{p+2q} $

Приведем все дроби к общему знаменателю $(p-2q)(p+2q) = p^2 - 4q^2$:

$ \frac{1 \cdot (p+2q)}{(p-2q)(p+2q)} - \frac{6q}{(p-2q)(p+2q)} - \frac{2 \cdot (p-2q)}{(p-2q)(p+2q)} = \frac{(p+2q) - 6q - 2(p-2q)}{p^2 - 4q^2} $

Раскроем скобки и упростим числитель:

$ \frac{p+2q - 6q - 2p + 4q}{p^2 - 4q^2} = \frac{(p-2p) + (2q-6q+4q)}{p^2 - 4q^2} = \frac{-p}{p^2 - 4q^2} $

Преобразование правой части:

$ -\frac{1}{2p} \cdot \left( \frac{p^2 + 4q^2}{p^2 - 4q^2} + 1 \right) $

Сначала выполним сложение в скобках, представив 1 как дробь со знаменателем $p^2 - 4q^2$:

$ \frac{p^2 + 4q^2}{p^2 - 4q^2} + 1 = \frac{p^2 + 4q^2}{p^2 - 4q^2} + \frac{p^2 - 4q^2}{p^2 - 4q^2} = \frac{p^2 + 4q^2 + p^2 - 4q^2}{p^2 - 4q^2} = \frac{2p^2}{p^2 - 4q^2} $

Теперь подставим полученное выражение обратно в правую часть исходного тождества:

$ -\frac{1}{2p} \cdot \frac{2p^2}{p^2 - 4q^2} = -\frac{2p^2}{2p(p^2 - 4q^2)} $

Сократим дробь на $2p$ (при условии, что $p \neq 0$):

$ -\frac{p}{p^2 - 4q^2} $

Заключение:

Мы получили, что левая и правая части тождества равны одному и тому же выражению:

$ \frac{-p}{p^2 - 4q^2} = -\frac{p}{p^2 - 4q^2} $

Следовательно, исходное равенство является тождеством при всех допустимых значениях переменных ($p \neq 0, p \neq \pm 2q$).

Ответ: тождество доказано.

247. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных

значение выражения

$\frac{\frac{3}{2}a^2 - 2ab + \frac{2}{3}b^2}{\frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{9}b^2} + \frac{6b}{\frac{3}{4}a + \frac{1}{2}b}$

не зависит от $a$ и $b$.

Для того чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменных a и b, необходимо упростить данное выражение. Если в результате упрощения получится число, то утверждение будет доказано.

Исходное выражение:

$$ \frac{\frac{3}{2}a^2 - 2ab + \frac{2}{3}b^2}{\frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{9}b^2} + \frac{6b}{\frac{3}{4}a + \frac{1}{2}b} $$

Упростим выражение по частям, начав с первой дроби.

1. Преобразуем числитель первой дроби: $ \frac{3}{2}a^2 - 2ab + \frac{2}{3}b^2 $.
Приведем коэффициенты к общему знаменателю 6 и вынесем $ \frac{1}{6} $ за скобки:

$$ \frac{9a^2 - 12ab + 4b^2}{6} = \frac{1}{6}(9a^2 - 12ab + 4b^2) $$

Выражение в скобках является полным квадратом разности $ (3a - 2b)^2 $. Таким образом, числитель равен:

$$ \frac{1}{6}(3a - 2b)^2 $$

2. Преобразуем знаменатель первой дроби: $ \frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{9}b^2 $.
Это формула разности квадратов $ (\frac{1}{2}a)^2 - (\frac{1}{3}b)^2 $. Разложим ее на множители:

$$ (\frac{1}{2}a - \frac{1}{3}b)(\frac{1}{2}a + \frac{1}{3}b) $$

Приведем выражения в скобках к общему знаменателю:

$$ (\frac{3a - 2b}{6})(\frac{3a + 2b}{6}) = \frac{(3a - 2b)(3a + 2b)}{36} $$

3. Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель (выполним действие в первой дроби):

$$ \frac{\frac{1}{6}(3a - 2b)^2}{\frac{(3a - 2b)(3a + 2b)}{36}} = \frac{(3a - 2b)^2}{6} \cdot \frac{36}{(3a - 2b)(3a + 2b)} $$

Сократим дробь на общий множитель $ (3a - 2b) $ (это возможно, так как рассматриваются допустимые значения переменных, при которых знаменатель не равен нулю) и на 6:

$$ \frac{(3a - 2b) \cdot 6}{3a + 2b} = \frac{6(3a - 2b)}{3a + 2b} $$

4. Упростим вторую дробь: $ \frac{6b}{\frac{3}{4}a + \frac{1}{2}b} $.

Преобразуем ее знаменатель, приведя слагаемые к общему знаменателю 4:

$$ \frac{3}{4}a + \frac{1}{2}b = \frac{3a + 2b}{4} $$

Подставим это в дробь:

$$ \frac{6b}{\frac{3a + 2b}{4}} = 6b \cdot \frac{4}{3a + 2b} = \frac{24b}{3a + 2b} $$

5. Теперь сложим упрощенные дроби:

$$ \frac{6(3a - 2b)}{3a + 2b} + \frac{24b}{3a + 2b} $$

Так как знаменатели у дробей одинаковы, сложим их числители:

$$ \frac{6(3a - 2b) + 24b}{3a + 2b} = \frac{18a - 12b + 24b}{3a + 2b} = \frac{18a + 12b}{3a + 2b} $$

Вынесем в числителе общий множитель 6 за скобки:

$$ \frac{6(3a + 2b)}{3a + 2b} $$

Сократив дробь на $ (3a + 2b) $, получаем:

$$ 6 $$

Мы получили числовое значение, которое не зависит от переменных a и b. Таким образом, доказано, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения постоянно и равно 6.

Ответ: 6

249. При каких значениях x имеет смысл выражение:

а) $ \frac{\frac{1}{x-2} + \frac{x}{x+2}}{\frac{3x}{x^2-4}} $;

б) $ \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{x}}} $?

а) Выражение представляет собой дробь. Оно имеет смысл тогда, когда все знаменатели, входящие в его состав, не равны нулю.
Исходное выражение: $ \frac{\frac{1}{x-2} + \frac{x}{x+2}}{\frac{3x}{x^2-4}} $.
Найдём значения $x$, при которых знаменатели обращаются в ноль.
1. Знаменатели дробей в числителе: $x-2$ и $x+2$. Они не должны быть равны нулю.
$x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$.
$x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$.
2. Знаменатель всей дроби $\frac{3x}{x^2-4}$ не должен быть равен нулю.
$\frac{3x}{x^2-4} \neq 0$.
Это условие распадается на два: числитель этой дроби не равен нулю, и её знаменатель также не равен нулю.
а) $3x \neq 0 \implies x \neq 0$.
б) $x^2-4 \neq 0 \implies (x-2)(x+2) \neq 0$. Это приводит к уже полученным условиям $x \neq 2$ и $x \neq -2$.
Объединив все найденные ограничения, получаем, что выражение имеет смысл при всех значениях $x$, за исключением $x=-2$, $x=0$ и $x=2$.
Ответ: выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x = -2, x = 0, x = 2$.

б) Данное выражение является многоуровневой дробью. Оно будет иметь смысл только в том случае, если все знаменатели на каждом из уровней не равны нулю.
Исходное выражение: $ \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{x}}} $.
Проанализируем все знаменатели, начиная с самого внутреннего.
1. В дроби $\frac{1}{x}$ знаменатель равен $x$. Следовательно, должно выполняться условие:
$x \neq 0$.
2. В дроби $\frac{1}{1 - \frac{1}{x}}$ знаменателем является выражение $1 - \frac{1}{x}$. Оно не должно быть равно нулю:
$1 - \frac{1}{x} \neq 0 \implies 1 \neq \frac{1}{x} \implies x \neq 1$.
3. Внешний (основной) знаменатель $1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{x}}$ также не должен равняться нулю:
$1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{x}} \neq 0 \implies 1 \neq \frac{1}{1 - \frac{1}{x}}$.
При условии, что $1 - \frac{1}{x} \neq 0$ (что эквивалентно $x \neq 1$), мы можем преобразовать это неравенство:
$1 - \frac{1}{x} \neq 1 \implies -\frac{1}{x} \neq 0$.
Это неравенство истинно для любого ненулевого значения $x$, что уже учтено в первом пункте. Таким образом, третье условие не добавляет новых ограничений.
Итак, выражение имеет смысл при выполнении двух условий: $x \neq 0$ и $x \neq 1$.
Ответ: выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x = 0$ и $x = 1$.

251. Автомобиль проехал от пункта А до пункта В. До пункта С, находящегося в середине пути, он ехал со скоростью 60 км/ч, а далее из С в В — со скоростью 80 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всём пути следования.

Для нахождения средней скорости автомобиля необходимо весь пройденный путь разделить на всё время движения. Средняя скорость вычисляется по формуле:$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Обозначим весь путь от пункта А до пункта В как $S$.По условию, пункт С находится на середине пути, следовательно, автомобиль проехал два равных участка пути:$S_1 = S_{АС} = \frac{S}{2}$$S_2 = S_{СВ} = \frac{S}{2}$

Скорость на первом участке пути была $v_1 = 60$ км/ч, а на втором — $v_2 = 80$ км/ч.

Найдем время, затраченное на прохождение каждого участка. Время вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$.Время на первом участке: $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{S/2}{60} = \frac{S}{120}$ ч.Время на втором участке: $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{S/2}{80} = \frac{S}{160}$ ч.

Общее время движения $t_{общ}$ равно сумме времени на обоих участках:$t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{120} + \frac{S}{160}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 120 и 160 равно 480.$t_{общ} = \frac{4 \cdot S}{4 \cdot 120} + \frac{3 \cdot S}{3 \cdot 160} = \frac{4S}{480} + \frac{3S}{480} = \frac{4S + 3S}{480} = \frac{7S}{480}$ ч.

Теперь мы можем рассчитать среднюю скорость на всём пути следования:$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{S}{\frac{7S}{480}}$

Сократив $S$, получаем:$v_{ср} = \frac{1}{\frac{7}{480}} = \frac{480}{7}$ км/ч.

Для удобства представим результат в виде смешанного числа:$\frac{480}{7} = 68 \frac{4}{7}$ км/ч.

Ответ: $68 \frac{4}{7}$ км/ч.

246. Одно из тождеств, приведённых знаменитым математиком XVIII в. Л. Эйлером, выглядит так:

$a^3 + b^3 + \left(\frac{b(2a^3+b^3)}{a^3-b^3}\right)^3 = \left(\frac{a(a^3+2b^3)}{a^3-b^3}\right)^3$

Докажите его.

Для доказательства данного тождества преобразуем его, перенеся одно из слагаемых из левой части в правую. Это позволит нам работать с разностью кубов.

Исходное тождество: $$ a^3 + b^3 + \left(\frac{b(2a^3 + b^3)}{a^3 - b^3}\right)^3 = \left(\frac{a(a^3 + 2b^3)}{a^3 - b^3}\right)^3 $$

Перенесем второй член левой части вправо: $$ a^3 + b^3 = \left(\frac{a(a^3 + 2b^3)}{a^3 - b^3}\right)^3 - \left(\frac{b(2a^3 + b^3)}{a^3 - b^3}\right)^3 $$

Теперь докажем, что правая часть (ПЧ) этого равенства тождественно равна левой части.

$$ ПЧ = \frac{a^3(a^3 + 2b^3)^3}{(a^3 - b^3)^3} - \frac{b^3(2a^3 + b^3)^3}{(a^3 - b^3)^3} = \frac{a^3(a^3 + 2b^3)^3 - b^3(2a^3 + b^3)^3}{(a^3 - b^3)^3} $$

Рассмотрим числитель полученной дроби. Для его упрощения раскроем кубы биномов, используя формулу куба суммы $(x+y)^3 = x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$:

$ (a^3 + 2b^3)^3 = (a^3)^3 + 3(a^3)^2(2b^3) + 3(a^3)(2b^3)^2 + (2b^3)^3 = a^9 + 6a^6b^3 + 12a^3b^6 + 8b^9 $

$ (2a^3 + b^3)^3 = (2a^3)^3 + 3(2a^3)^2(b^3) + 3(2a^3)(b^3)^2 + (b^3)^3 = 8a^9 + 12a^6b^3 + 6a^3b^6 + b^9 $

Подставим эти выражения в числитель и раскроем скобки:

Числитель = $a^3(a^9 + 6a^6b^3 + 12a^3b^6 + 8b^9) - b^3(8a^9 + 12a^6b^3 + 6a^3b^6 + b^9)$
= $(a^{12} + 6a^9b^3 + 12a^6b^6 + 8a^3b^9) - (8a^9b^3 + 12a^6b^6 + 6a^3b^9 + b^{12})$

Приведем подобные слагаемые:

Числитель = $a^{12} + (6 - 8)a^9b^3 + (12 - 12)a^6b^6 + (8 - 6)a^3b^9 - b^{12}$
= $a^{12} - 2a^9b^3 + 2a^3b^9 - b^{12}$

Теперь разложим полученное выражение на множители. Для этого сгруппируем слагаемые:

$ (a^{12} - b^{12}) - (2a^9b^3 - 2a^3b^9) $

Из первой группы вынесем множитель по формуле разности квадратов, а из второй — общий множитель:

$ (a^6 - b^6)(a^6 + b^6) - 2a^3b^3(a^6 - b^6) $

Вынесем общий множитель $(a^6 - b^6)$:

$ (a^6 - b^6)(a^6 + b^6 - 2a^3b^3) $

Применим формулу разности кубов к первому множителю и заметим формулу квадрата разности во втором множителе:

$ (a^3 - b^3)(a^3 + b^3) \cdot (a^3 - b^3)^2 $

Объединив множители, получаем окончательный вид числителя:

Числитель = $(a^3 + b^3)(a^3 - b^3)^3$

Подставим полученное выражение для числителя обратно в формулу для ПЧ:

$$ ПЧ = \frac{(a^3 + b^3)(a^3 - b^3)^3}{(a^3 - b^3)^3} $$

При условии, что $a^3 - b^3 \neq 0$ (то есть $a \neq b$), на которое указывает наличие знаменателя в исходном тождестве, мы можем сократить дробь на $(a^3 - b^3)^3$:

$$ ПЧ = a^3 + b^3 $$

Таким образом, мы показали, что правая часть преобразованного равенства равна $a^3 + b^3$, что в точности совпадает с его левой частью. Следовательно, исходное тождество верно.

Ответ: Тождество доказано.

248. Представьте в виде рациональной дроби:

а) $\frac{x - \frac{yz}{y-z}}{y - \frac{xz}{x-z}}$;

б) $\frac{\frac{a-x}{a} + \frac{x}{a-x}}{\frac{a+x}{a} - \frac{x}{a+x}}$;

в) $\frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}}$;

г) $\frac{1}{1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}}$.

а) Чтобы представить данное выражение в виде рациональной дроби, упростим сначала числитель и знаменатель основной дроби.
1. Упростим числитель:
$ x - \frac{yz}{y-z} = \frac{x(y-z)}{y-z} - \frac{yz}{y-z} = \frac{xy - xz - yz}{y-z} $.
2. Упростим знаменатель:
$ y - \frac{xz}{x-z} = \frac{y(x-z)}{x-z} - \frac{xz}{x-z} = \frac{xy - yz - xz}{x-z} $.
3. Теперь разделим полученный числитель на полученный знаменатель:
$ \frac{\frac{xy - xz - yz}{y-z}}{\frac{xy - yz - xz}{x-z}} = \frac{xy - xz - yz}{y-z} \cdot \frac{x-z}{xy - yz - xz} $.
Выражения $ (xy - xz - yz) $ и $ (xy - yz - xz) $ в числителе и знаменателе сокращаются.
$ \frac{\cancel{xy - xz - yz}}{y-z} \cdot \frac{x-z}{\cancel{xy - yz - xz}} = \frac{x-z}{y-z} $.
Ответ: $ \frac{x-z}{y-z} $

б) Упростим числитель и знаменатель основной дроби по отдельности.
1. Упростим числитель, приведя дроби к общему знаменателю $ a(a-x) $:
$ \frac{a-x}{a} + \frac{x}{a-x} = \frac{(a-x)(a-x)}{a(a-x)} + \frac{x \cdot a}{a(a-x)} = \frac{(a-x)^2 + ax}{a(a-x)} = \frac{a^2 - 2ax + x^2 + ax}{a(a-x)} = \frac{a^2 - ax + x^2}{a(a-x)} $.
2. Упростим знаменатель, приведя дроби к общему знаменателю $ a(a+x) $:
$ \frac{a+x}{a} - \frac{x}{a+x} = \frac{(a+x)(a+x)}{a(a+x)} - \frac{x \cdot a}{a(a+x)} = \frac{(a+x)^2 - ax}{a(a+x)} = \frac{a^2 + 2ax + x^2 - ax}{a(a+x)} = \frac{a^2 + ax + x^2}{a(a+x)} $.
3. Разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:
$ \frac{\frac{a^2 - ax + x^2}{a(a-x)}}{\frac{a^2 + ax + x^2}{a(a+x)}} = \frac{a^2 - ax + x^2}{a(a-x)} \cdot \frac{a(a+x)}{a^2 + ax + x^2} $.
Сократим $ a $ и сгруппируем множители:
$ \frac{(a+x)(a^2 - ax + x^2)}{(a-x)(a^2 + ax + x^2)} $.
Используя формулы суммы и разности кубов $ a^3+x^3 = (a+x)(a^2-ax+x^2) $ и $ a^3-x^3 = (a-x)(a^2+ax+x^2) $, получаем:
$ \frac{a^3+x^3}{a^3-x^3} $.
Ответ: $ \frac{a^3+x^3}{a^3-x^3} $

в) Это многоэтажная дробь, которую нужно упрощать "снизу вверх".
1. Начнем с самого нижнего знаменателя:
$ 1 + \frac{1}{x} = \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = \frac{x+1}{x} $.
2. Подставим результат в дробь более высокого уровня:
$ \frac{1}{1 + \frac{1}{\frac{x+1}{x}}} = \frac{1}{1 + \frac{x}{x+1}} $.
3. Теперь упростим новый знаменатель:
$ 1 + \frac{x}{x+1} = \frac{x+1}{x+1} + \frac{x}{x+1} = \frac{x+1+x}{x+1} = \frac{2x+1}{x+1} $.
4. Подставим это в исходное выражение:
$ \frac{1}{\frac{2x+1}{x+1}} = \frac{x+1}{2x+1} $.
Ответ: $ \frac{x+1}{2x+1} $

г) Упростим данную многоэтажную дробь "снизу вверх", как и в предыдущем примере.
1. Упростим выражение в самом низу:
$ 1 + \frac{1}{x} = \frac{x+1}{x} $.
2. Подставим результат в дробь выше:
$ \frac{1}{1 - \frac{1}{\frac{x+1}{x}}} = \frac{1}{1 - \frac{x}{x+1}} $.
3. Упростим полученный знаменатель:
$ 1 - \frac{x}{x+1} = \frac{x+1}{x+1} - \frac{x}{x+1} = \frac{x+1-x}{x+1} = \frac{1}{x+1} $.
4. Подставим результат в исходное выражение:
$ \frac{1}{\frac{1}{x+1}} = x+1 $.
Ответ: $ x+1 $

250. Три вязальщицы получили одинаковые заказы на изготовление салфеток. Первая из них может выполнить заказ за 8 ч, вторая — за 9 ч, а их ученица — за 12 ч. Они объединили заказы и стали выполнять их совместно. Через сколько часов работа была закончена?

Для решения этой задачи необходимо сначала определить производительность (скорость работы) каждой вязальщицы, а затем их общую производительность при совместной работе. Объем одного заказа примем за 1 условную единицу.

1. Производительность первой вязальщицы, которая выполняет заказ за 8 часов, составляет $P_1 = \frac{1}{8}$ заказа в час.

2. Производительность второй вязальщицы, которая выполняет заказ за 9 часов, составляет $P_2 = \frac{1}{9}$ заказа в час.

3. Производительность ученицы, которая выполняет заказ за 12 часов, составляет $P_3 = \frac{1}{12}$ заказа в час.

Чтобы найти общую производительность при совместной работе, необходимо сложить их индивидуальные производительности: $P_{общая} = P_1 + P_2 + P_3 = \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{12}$

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 8, 9 и 12 равно 72. $P_{общая} = \frac{1 \cdot 9}{72} + \frac{1 \cdot 8}{72} + \frac{1 \cdot 6}{72} = \frac{9+8+6}{72} = \frac{23}{72}$ Таким образом, работая вместе, они выполняют $\frac{23}{72}$ одного заказа за час.

По условию, вязальщицы объединили три своих одинаковых заказа. Следовательно, общий объем работы $A$, который им нужно выполнить, равен 3 заказам. $A = 3$

Время $t$, необходимое для выполнения всей работы, вычисляется как отношение общего объема работы к общей производительности: $t = \frac{A}{P_{общая}} = \frac{3}{\frac{23}{72}}$

Выполним деление: $t = 3 \cdot \frac{72}{23} = \frac{216}{23}$

Представим результат в виде смешанного числа, чтобы выделить целое количество часов: $\frac{216}{23} = 9 \frac{9}{23}$

Ответ: работа была закончена через $9 \frac{9}{23}$ часов.