Номер 248, страница 58 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 3. Дополнительные упражнения к главе 1. Глава 1. Рациональные дроби - номер 248, страница 58.

248. Представьте в виде рациональной дроби:

а) $\frac{x - \frac{yz}{y-z}}{y - \frac{xz}{x-z}}$;

б) $\frac{\frac{a-x}{a} + \frac{x}{a-x}}{\frac{a+x}{a} - \frac{x}{a+x}}$;

в) $\frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}}$;

г) $\frac{1}{1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}}$.

а) Чтобы представить данное выражение в виде рациональной дроби, упростим сначала числитель и знаменатель основной дроби.
1. Упростим числитель:
$ x - \frac{yz}{y-z} = \frac{x(y-z)}{y-z} - \frac{yz}{y-z} = \frac{xy - xz - yz}{y-z} $.
2. Упростим знаменатель:
$ y - \frac{xz}{x-z} = \frac{y(x-z)}{x-z} - \frac{xz}{x-z} = \frac{xy - yz - xz}{x-z} $.
3. Теперь разделим полученный числитель на полученный знаменатель:
$ \frac{\frac{xy - xz - yz}{y-z}}{\frac{xy - yz - xz}{x-z}} = \frac{xy - xz - yz}{y-z} \cdot \frac{x-z}{xy - yz - xz} $.
Выражения $ (xy - xz - yz) $ и $ (xy - yz - xz) $ в числителе и знаменателе сокращаются.
$ \frac{\cancel{xy - xz - yz}}{y-z} \cdot \frac{x-z}{\cancel{xy - yz - xz}} = \frac{x-z}{y-z} $.
Ответ: $ \frac{x-z}{y-z} $

б) Упростим числитель и знаменатель основной дроби по отдельности.
1. Упростим числитель, приведя дроби к общему знаменателю $ a(a-x) $:
$ \frac{a-x}{a} + \frac{x}{a-x} = \frac{(a-x)(a-x)}{a(a-x)} + \frac{x \cdot a}{a(a-x)} = \frac{(a-x)^2 + ax}{a(a-x)} = \frac{a^2 - 2ax + x^2 + ax}{a(a-x)} = \frac{a^2 - ax + x^2}{a(a-x)} $.
2. Упростим знаменатель, приведя дроби к общему знаменателю $ a(a+x) $:
$ \frac{a+x}{a} - \frac{x}{a+x} = \frac{(a+x)(a+x)}{a(a+x)} - \frac{x \cdot a}{a(a+x)} = \frac{(a+x)^2 - ax}{a(a+x)} = \frac{a^2 + 2ax + x^2 - ax}{a(a+x)} = \frac{a^2 + ax + x^2}{a(a+x)} $.
3. Разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:
$ \frac{\frac{a^2 - ax + x^2}{a(a-x)}}{\frac{a^2 + ax + x^2}{a(a+x)}} = \frac{a^2 - ax + x^2}{a(a-x)} \cdot \frac{a(a+x)}{a^2 + ax + x^2} $.
Сократим $ a $ и сгруппируем множители:
$ \frac{(a+x)(a^2 - ax + x^2)}{(a-x)(a^2 + ax + x^2)} $.
Используя формулы суммы и разности кубов $ a^3+x^3 = (a+x)(a^2-ax+x^2) $ и $ a^3-x^3 = (a-x)(a^2+ax+x^2) $, получаем:
$ \frac{a^3+x^3}{a^3-x^3} $.
Ответ: $ \frac{a^3+x^3}{a^3-x^3} $

в) Это многоэтажная дробь, которую нужно упрощать "снизу вверх".
1. Начнем с самого нижнего знаменателя:
$ 1 + \frac{1}{x} = \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = \frac{x+1}{x} $.
2. Подставим результат в дробь более высокого уровня:
$ \frac{1}{1 + \frac{1}{\frac{x+1}{x}}} = \frac{1}{1 + \frac{x}{x+1}} $.
3. Теперь упростим новый знаменатель:
$ 1 + \frac{x}{x+1} = \frac{x+1}{x+1} + \frac{x}{x+1} = \frac{x+1+x}{x+1} = \frac{2x+1}{x+1} $.
4. Подставим это в исходное выражение:
$ \frac{1}{\frac{2x+1}{x+1}} = \frac{x+1}{2x+1} $.
Ответ: $ \frac{x+1}{2x+1} $

г) Упростим данную многоэтажную дробь "снизу вверх", как и в предыдущем примере.
1. Упростим выражение в самом низу:
$ 1 + \frac{1}{x} = \frac{x+1}{x} $.
2. Подставим результат в дробь выше:
$ \frac{1}{1 - \frac{1}{\frac{x+1}{x}}} = \frac{1}{1 - \frac{x}{x+1}} $.
3. Упростим полученный знаменатель:
$ 1 - \frac{x}{x+1} = \frac{x+1}{x+1} - \frac{x}{x+1} = \frac{x+1-x}{x+1} = \frac{1}{x+1} $.
4. Подставим результат в исходное выражение:
$ \frac{1}{\frac{1}{x+1}} = x+1 $.
Ответ: $ x+1 $