Номер 252, страница 59 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 3. Дополнительные упражнения к главе 1. Глава 1. Рациональные дроби - номер 252, страница 59.

252. Докажите, что если $z$ является средним гармоническим положительных чисел $a$ и $b$, причём $a \neq b$, то верно равенство

$\frac{1}{z-a} + \frac{1}{z-b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}.$

По определению, среднее гармоническое $z$ двух положительных чисел $a$ и $b$ вычисляется по формуле:

$z = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$

Преобразуем это выражение, приведя дроби в знаменателе к общему знаменателю:

$z = \frac{2}{\frac{b+a}{ab}} = \frac{2ab}{a+b}$

Теперь нам нужно доказать равенство: $\frac{1}{z-a} + \frac{1}{z-b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$.

Для этого преобразуем левую часть равенства, подставив в нее полученное выражение для $z$.

Сначала найдем выражения для знаменателей $z-a$ и $z-b$:

$z - a = \frac{2ab}{a+b} - a = \frac{2ab - a(a+b)}{a+b} = \frac{2ab - a^2 - ab}{a+b} = \frac{ab - a^2}{a+b} = \frac{a(b-a)}{a+b}$

$z - b = \frac{2ab}{a+b} - b = \frac{2ab - b(a+b)}{a+b} = \frac{2ab - ab - b^2}{a+b} = \frac{ab - b^2}{a+b} = \frac{b(a-b)}{a+b}$

Теперь подставим эти выражения в левую часть доказываемого равенства:

$\frac{1}{z-a} + \frac{1}{z-b} = \frac{1}{\frac{a(b-a)}{a+b}} + \frac{1}{\frac{b(a-b)}{a+b}}$

Перевернем дроби в знаменателях:

$\frac{a+b}{a(b-a)} + \frac{a+b}{b(a-b)}$

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, заметим, что $b-a = -(a-b)$. Заменим $(b-a)$ в первой дроби:

$\frac{a+b}{-a(a-b)} + \frac{a+b}{b(a-b)} = -\frac{a+b}{a(a-b)} + \frac{a+b}{b(a-b)}$

Вынесем общий множитель $\frac{a+b}{a-b}$ за скобки. Это возможно, так как по условию $a \ne b$, следовательно, $a-b \ne 0$.

$\frac{a+b}{a-b} \cdot \left(-\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)$

Приведем к общему знаменателю выражение в скобках:

$\frac{a+b}{a-b} \cdot \left(\frac{-b+a}{ab}\right) = \frac{a+b}{a-b} \cdot \frac{a-b}{ab}$

Сократим дробь на $(a-b)$:

$\frac{a+b}{ab}$

Теперь разделим полученное выражение на две дроби:

$\frac{a}{ab} + \frac{b}{ab} = \frac{1}{b} + \frac{1}{a}$

Мы преобразовали левую часть равенства и получили правую часть: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Равенство $\frac{1}{z-a} + \frac{1}{z-b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ верно, так как после подстановки определения среднего гармонического $z = \frac{2ab}{a+b}$ и алгебраических преобразований левая часть тождественно равна правой.