Номер 259, страница 59 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 3. Дополнительные упражнения к главе 1. Глава 1. Рациональные дроби - номер 259, страница 59.

259. Постройте график функции:

а) $y = \frac{|2x - 18|}{x - 9}$;

б) $y = \frac{|x + 3|}{3x + 9}$.

а) $y = \frac{|2x - 18|}{x - 9}$

1. Найдём область определения функции (ОДЗ).
Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $x - 9 \neq 0$, следовательно, $x \neq 9$.

2. Упростим выражение, раскрыв модуль.
Выражение под знаком модуля $2x - 18$. Рассмотрим два случая в зависимости от его знака.

Случай 1: Подмодульное выражение неотрицательно: $2x - 18 \geq 0$.
$2x \geq 18$
$x \geq 9$
С учётом ОДЗ ($x \neq 9$), этот случай рассматривается для $x > 9$. При $x > 9$, $|2x - 18| = 2x - 18$. Функция принимает вид:
$y = \frac{2x - 18}{x - 9} = \frac{2(x - 9)}{x - 9} = 2$.
Таким образом, для $x > 9$ график функции — это луч прямой $y=2$.

Случай 2: Подмодульное выражение отрицательно: $2x - 18 < 0$.
$2x < 18$
$x < 9$
При $x < 9$, $|2x - 18| = -(2x - 18) = -2x + 18$. Функция принимает вид:
$y = \frac{-2x + 18}{x - 9} = \frac{-2(x - 9)}{x - 9} = -2$.
Таким образом, для $x < 9$ график функции — это луч прямой $y=-2$.

3. Построение графика.
График функции состоит из двух частей:

• горизонтальный луч $y=2$, определённый для всех $x > 9$. Начальная точка этого луча, $(9, 2)$, выколота (не принадлежит графику).
• горизонтальный луч $y=-2$, определённый для всех $x < 9$. Конечная точка этого луча, $(9, -2)$, также выколота.

Ответ: График функции представляет собой два горизонтальных луча: $y = 2$ при $x \in (9; +\infty)$ и $y = -2$ при $x \in (-\infty; 9)$. Точки $(9; 2)$ и $(9; -2)$ являются выколотыми.

---

б) $y = \frac{|x + 3|}{3x + 9}$

1. Найдём область определения функции (ОДЗ).
Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $3x + 9 \neq 0$, следовательно, $3x \neq -9$, то есть $x \neq -3$.

2. Упростим выражение, раскрыв модуль.
Выражение под знаком модуля $x + 3$. Рассмотрим два случая в зависимости от его знака.

Случай 1: Подмодульное выражение неотрицательно: $x + 3 \geq 0$.
$x \geq -3$
С учётом ОДЗ ($x \neq -3$), этот случай рассматривается для $x > -3$. При $x > -3$, $|x + 3| = x + 3$. Функция принимает вид:
$y = \frac{x + 3}{3x + 9} = \frac{x + 3}{3(x + 3)} = \frac{1}{3}$.
Таким образом, для $x > -3$ график функции — это луч прямой $y=\frac{1}{3}$.

Случай 2: Подмодульное выражение отрицательно: $x + 3 < 0$.
$x < -3$
При $x < -3$, $|x + 3| = -(x + 3)$. Функция принимает вид:
$y = \frac{-(x + 3)}{3x + 9} = \frac{-(x + 3)}{3(x + 3)} = -\frac{1}{3}$.
Таким образом, для $x < -3$ график функции — это луч прямой $y=-\frac{1}{3}$.

3. Построение графика.
График функции состоит из двух частей:

• горизонтальный луч $y=\frac{1}{3}$, определённый для всех $x > -3$. Начальная точка этого луча, $(-3, \frac{1}{3})$, выколота.
• горизонтальный луч $y=-\frac{1}{3}$, определённый для всех $x < -3$. Конечная точка этого луча, $(-3, -\frac{1}{3})$, также выколота.

Ответ: График функции представляет собой два горизонтальных луча: $y = \frac{1}{3}$ при $x \in (-3; +\infty)$ и $y = -\frac{1}{3}$ при $x \in (-\infty; -3)$. Точки $(-3; \frac{1}{3})$ и $(-3; -\frac{1}{3})$ являются выколотыми.