Номер 261, страница 60 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 3. Дополнительные упражнения к главе 1. Глава 1. Рациональные дроби - номер 261, страница 60.

261. Могут ли графики функций $y = \frac{k}{x}$ и $y = ax + b$ пересекаться:

а) только в одной точке;

б) только в двух точках;

в) в трёх точках?

Для того чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = \frac{k}{x}$ и $y = ax + b$, необходимо найти общие решения для этой системы уравнений. Приравняем правые части выражений для $y$:

$$ \frac{k}{x} = ax + b $$

Область определения функции $y = \frac{k}{x}$ исключает значение $x=0$. Поэтому мы можем умножить обе части уравнения на $x$, не опасаясь потери корней или появления посторонних корней (кроме $x=0$, который и так не является решением).

$$ k = x(ax + b) $$

$$ k = ax^2 + bx $$

Перенеся все слагаемые в одну сторону, получим стандартное квадратное уравнение относительно переменной $x$:

$$ ax^2 + bx - k = 0 $$

Количество точек пересечения графиков соответствует количеству действительных корней этого уравнения. Проанализируем возможные случаи.

а) только в одной точке;

Да, графики могут пересекаться ровно в одной точке. Это возможно в двух основных ситуациях.

Случай 1: Линейная функция является константой ($a=0$).

Если коэффициент $a=0$, то прямая имеет вид $y=b$. Уравнение для нахождения абсцисс точек пересечения становится линейным: $0 \cdot x^2 + bx - k = 0$, или $bx = k$. Если $b \neq 0$, это уравнение имеет ровно один корень: $x = \frac{k}{b}$. Следовательно, графики имеют одну точку пересечения.

Пример: Для функций $y = \frac{2}{x}$ (здесь $k=2$) и $y=1$ (здесь $a=0, b=1$) уравнение пересечения $\frac{2}{x} = 1$ дает один корень $x=2$. Точка пересечения — $(2, 1)$.

Случай 2: Прямая является касательной к гиперболе ($a \neq 0$).

Квадратное уравнение $ax^2 + bx - k = 0$ имеет ровно один действительный корень, если его дискриминант $D$ равен нулю.

$$ D = b^2 - 4(a)(-k) = b^2 + 4ak $$

Если $b^2 + 4ak = 0$, то уравнение имеет единственный корень $x = -\frac{b}{2a}$, что соответствует одной точке пересечения (точке касания).

Пример: Для функций $y = \frac{1}{x}$ ($k=1$) и $y = -x + 2$ ($a=-1, b=2$). Уравнение пересечения $\frac{1}{x} = -x+2$ преобразуется в $x^2 - 2x + 1 = 0$. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 0$. Уравнение $(x-1)^2 = 0$ имеет один корень $x=1$. Точка касания — $(1, 1)$.

Ответ: да, могут.

б) только в двух точках;

Да, графики могут пересекаться в двух точках. Это наиболее общий случай, когда прямая является секущей для гиперболы.

Это происходит, когда квадратное уравнение $ax^2 + bx - k = 0$ (при $a \neq 0$) имеет два различных действительных корня. Условием для этого является положительный дискриминант:

$$ D = b^2 + 4ak > 0 $$

Если это условие выполнено, уравнение будет иметь два различных корня $x_1$ и $x_2$, что соответствует двум точкам пересечения.

Пример: Для функций $y = \frac{4}{x}$ ($k=4$) и $y = x$ ($a=1, b=0$). Уравнение пересечения $\frac{4}{x} = x$ преобразуется в $x^2 = 4$. Это уравнение имеет два корня: $x_1=2$ и $x_2=-2$. Точки пересечения — $(2, 2)$ и $(-2, -2)$. Дискриминант для $x^2 + 0x - 4 = 0$ равен $D = 0^2 - 4(1)(-4) = 16 > 0$.

Ответ: да, могут.

в) в трёх точках?

Нет, графики функций $y = \frac{k}{x}$ и $y = ax + b$ не могут пересекаться в трёх точках.

Как было показано ранее, абсциссы точек пересечения являются корнями уравнения $ax^2 + bx - k = 0$.

• Если $a \neq 0$, это уравнение является квадратным и может иметь не более двух действительных корней.
• Если $a=0$, уравнение становится линейным ($bx - k = 0$) и при $b \neq 0$ имеет ровно один корень. Если же и $b=0$, то уравнение принимает вид $-k=0$, которое либо не имеет корней (при $k \neq 0$), либо верно для любого $x$ (при $k=0$), но в последнем случае функция $y=k/x$ не является гиперболой.

Таким образом, максимальное число точек пересечения прямой и гиперболы равно двум. Следовательно, три точки пересечения невозможны.

Ответ: нет, не могут.