Номер 267, страница 65 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

10. Рациональные числа. § 4. Действительные числа. Глава 2. Квадратные корни - номер 267, страница 65.

267. Представьте в виде бесконечной десятичной дроби число:

а) $ \frac{1}{3} $;

б) $ \frac{5}{6} $;

в) $ \frac{1}{7} $;

г) $ -\frac{20}{9} $;

д) $ -\frac{8}{15} $;

е) $ 10,28 $;

ж) $ -17 $;

з) $ \frac{3}{16} $;

и) $ -1\frac{3}{40} $;

к) $ 2\frac{7}{11} $.

а) Чтобы представить дробь $ \frac{1}{3} $ в виде бесконечной десятичной дроби, необходимо разделить её числитель на знаменатель. При делении 1 на 3 получаем 0 в целой части. Далее, приписывая нули, последовательно делим 10 на 3, получаем 3 и 1 в остатке; снова делим 10 на 3, получаем 3 и 1 в остатке. Этот процесс бесконечен, и в частном после запятой бесконечно повторяется цифра 3. Таким образом, $ \frac{1}{3} = 0,333... $. Это чистая периодическая десятичная дробь с периодом 3. Ответ: $0,(3)$.

б) Разделим числитель 5 на знаменатель 6. При делении 5 на 6 получаем 0 в целой части. Делим 50 десятых на 6, получаем 8 и 2 в остатке. Делим 20 сотых на 6, получаем 3 и 2 в остатке. Снова делим 20 тысячных на 6, получаем 3 и 2 в остатке. Остаток 2 будет повторяться, а значит, в частном будет бесконечно повторяться цифра 3 после цифры 8. Таким образом, $ \frac{5}{6} = 0,8333... $. Это смешанная периодическая десятичная дробь. Ответ: $0,8(3)$.

в) Разделим числитель 1 на знаменатель 7. Выполняя деление столбиком ($1 \div 7$), мы последовательно получаем в частном цифры 1, 4, 2, 8, 5, 7, после чего остаток снова становится равен 1, и последовательность цифр в частном начинает повторяться. Таким образом, $ \frac{1}{7} = 0,142857142857... $. Это чистая периодическая десятичная дробь с периодом 142857. Ответ: $0,(142857)$.

г) Сначала рассмотрим положительную дробь $ \frac{20}{9} $. Разделим 20 на 9. Целая часть равна 2 (остаток 2). Делим 20 десятых на 9, получаем 2 и 2 в остатке. Процесс повторяется, и мы получаем бесконечную дробь $2,222...$. Учитывая знак минус, получаем $ -\frac{20}{9} = -2,222... $. Это чистая периодическая десятичная дробь с периодом 2. Ответ: $-2,(2)$.

д) Рассмотрим дробь $ \frac{8}{15} $. Разделим 8 на 15. Целая часть равна 0. Делим 80 на 15, получаем 5 и 5 в остатке. Делим 50 на 15, получаем 3 и 5 в остатке. Остаток 5 повторяется, значит, цифра 3 в частном будет повторяться бесконечно после цифры 5. $ \frac{8}{15} = 0,5333... $. Учитывая знак минус, получаем $ -\frac{8}{15} = -0,5333... $. Это смешанная периодическая десятичная дробь. Ответ: $-0,5(3)$.

е) Число $10,28$ является конечной десятичной дробью. Любую конечную десятичную дробь можно записать в виде бесконечной, если дописать в конце бесконечное количество нулей. Это не изменит значение дроби. $10,28 = 10,28000...$. Такая запись соответствует бесконечной периодической дроби с периодом 0. Ответ: $10,28(0)$.

ж) Целое число $-17$ можно представить в виде бесконечной десятичной дроби, поставив запятую после целой части и добавив бесконечное количество нулей в дробной части: $-17 = -17,0 = -17,000...$. Это соответствует бесконечной периодической дроби с периодом 0. Ответ: $-17,(0)$.

з) Разделим 3 на 16. $3 \div 16 = 0,1875$. Деление заканчивается, так как знаменатель $16 = 2^4$ является степенью двойки. Мы получили конечную десятичную дробь. Чтобы представить её в виде бесконечной, дописываем справа бесконечное количество нулей: $0,1875 = 0,1875000...$. Это дробь с периодом 0. Ответ: $0,1875(0)$.

и) Сначала преобразуем дробную часть смешанного числа, $ \frac{3}{40} $. Разделим 3 на 40: $3 \div 40 = 0,075$. Это конечная десятичная дробь. Тогда смешанное число равно $ -1\frac{3}{40} = -(1 + \frac{3}{40}) = -(1 + 0,075) = -1,075$. Чтобы представить это число в виде бесконечной дроби, дописываем справа бесконечное количество нулей: $-1,075 = -1,075000...$. Это дробь с периодом 0. Ответ: $-1,075(0)$.

к) Рассмотрим дробную часть $ \frac{7}{11} $. Разделим 7 на 11. Получаем $7 \div 11 = 0,6363...$. Остатки при делении (4 и 7) циклически повторяются, что приводит к повторению группы цифр 63 в частном. Таким образом, $ \frac{7}{11} = 0,(63) $. Тогда всё число равно $ 2\frac{7}{11} = 2 + 0,(63) = 2,(63) $. Это чистая периодическая десятичная дробь. Ответ: $2,(63)$.