Номер 273, страница 66 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

10. Рациональные числа. § 4. Действительные числа. Глава 2. Квадратные корни - номер 273, страница 66.

273. Докажите, что:

а) квадрат чётного числа есть число чётное;

б) квадрат нечётного числа есть число нечётное.

а) квадрат чётного числа есть число чётное;

По определению, чётное число — это целое число, которое делится на 2 без остатка. Любое чётное число $n$ можно представить в виде формулы $n = 2k$, где $k$ — целое число.

Возведём это чётное число $n$ в квадрат:

$n^2 = (2k)^2 = 4k^2$

Полученное выражение можно переписать, выделив множитель 2:

$n^2 = 2 \cdot (2k^2)$

Поскольку $k$ — целое число, то $k^2$ также является целым числом, и, следовательно, выражение в скобках $2k^2$ тоже является целым числом. Обозначим $m = 2k^2$.

Тогда $n^2 = 2m$. Любое число, которое можно представить в виде $2m$, где $m$ — целое, является чётным. Таким образом, квадрат чётного числа всегда является чётным числом. Что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано.

б) квадрат нечётного числа есть число нечётное.

По определению, нечётное число — это целое число, которое при делении на 2 даёт в остатке 1. Любое нечётное число $n$ можно представить в виде формулы $n = 2k + 1$, где $k$ — целое число.

Возведём это нечётное число $n$ в квадрат, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$n^2 = (2k + 1)^2 = (2k)^2 + 2 \cdot 2k \cdot 1 + 1^2 = 4k^2 + 4k + 1$

Сгруппируем первые два слагаемых и вынесем за скобки общий множитель 2:

$n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$

Поскольку $k$ — целое число, то выражение в скобках $(2k^2 + 2k)$ также является целым числом. Обозначим $p = 2k^2 + 2k$.

Тогда $n^2 = 2p + 1$. Любое число, которое можно представить в виде $2p + 1$, где $p$ — целое, по определению является нечётным. Таким образом, квадрат нечётного числа всегда является нечётным числом. Что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано.