Номер 278, страница 71 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

11. Иррациональные числа. § 4. Действительные числа. Глава 2. Квадратные корни - номер 278, страница 71.

278. Среди чисел $1/7$; 0; 0,25; $-2,(3)$; 0,818118111... (число единиц, разделяющих восьмёрки, каждый раз увеличивается на одну); $4,2(51)$; 217; $\pi$ укажите рациональные и иррациональные.

Для того чтобы классифицировать данные числа на рациональные и иррациональные, необходимо вспомнить их определения.

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число. Десятичное представление рационального числа является либо конечным, либо бесконечным периодическим.

Иррациональное число — это число, которое нельзя представить в виде дроби $\frac{m}{n}$. Его десятичное представление является бесконечной непериодической дробью.

Проанализируем каждое число из списка:

Рациональные числа

К этой группе относятся числа, которые являются целыми, конечными десятичными дробями, обыкновенными дробями или бесконечными периодическими дробями.

• $\frac{1}{7}$ — это число уже представлено в виде обыкновенной дроби.
• $0$ — это целое число, его можно представить как дробь $\frac{0}{1}$.
• $0,25$ — это конечная десятичная дробь, которую можно представить в виде дроби $\frac{25}{100}$ или $\frac{1}{4}$.
• $-2,(3)$ — это бесконечная периодическая десятичная дробь ($-2,333...$). Любую периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной: $-2,(3) = -2\frac{3}{9} = -2\frac{1}{3} = -\frac{7}{3}$.
• $4,2(51)$ — это бесконечная периодическая десятичная дробь ($4,2515151...$). Период равен $51$. Она также может быть представлена в виде обыкновенной дроби $\frac{4209}{990}$.
• $217$ — это целое число, которое можно представить в виде дроби $\frac{217}{1}$.

Ответ: $\frac{1}{7}$; $0$; $0,25$; $-2,(3)$; $4,2(51)$; $217$.

Иррациональные числа

К этой группе относятся числа, десятичное представление которых бесконечно и непериодично.

• $0,818118111...$ — это бесконечная десятичная дробь. Согласно условию, число единиц, разделяющих восьмёрки, каждый раз увеличивается на одну. Это означает, что последовательность цифр не имеет повторяющегося периода, следовательно, число иррациональное.
• $\pi$ — число «пи» является фундаментальной математической константой, и известно, что оно иррациональное. Его десятичное представление бесконечно и непериодично.

Ответ: $0,818118111...$; $\pi$.