Страница 71 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

277. Верно ли, что:

а) каждое рациональное число является действительным;

б) каждое действительное число является рациональным;

в) каждое иррациональное число является действительным;

г) каждое действительное число является иррациональным?

а) каждое рациональное число является действительным;

Да, это утверждение верно. Множество действительных чисел (обозначается $ \mathbb{R} $) по определению является объединением множества рациональных чисел ($ \mathbb{Q} $) и множества иррациональных чисел ($ \mathbb{I} $). То есть, $ \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} $. Таким образом, любое рациональное число, которое можно представить в виде дроби $ \frac{m}{n} $, где $ m $ — целое число, а $ n $ — натуральное число, входит в состав множества действительных чисел. Множество рациональных чисел является подмножеством множества действительных чисел: $ \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} $.
Ответ: верно.

б) каждое действительное число является рациональным;

Нет, это утверждение неверно. Как указано выше, множество действительных чисел $ \mathbb{R} $ включает в себя как рациональные, так и иррациональные числа. Иррациональные числа — это действительные числа, которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби. Например, числа $ \sqrt{2} $, $ \pi $, $ e $ являются действительными, но не являются рациональными. Следовательно, не каждое действительное число является рациональным.
Ответ: неверно.

в) каждое иррациональное число является действительным;

Да, это утверждение верно. По определению, множество действительных чисел $ \mathbb{R} $ является объединением множества рациональных и иррациональных чисел $ \mathbb{I} $. Это означает, что любое иррациональное число по определению является действительным числом. Множество иррациональных чисел является подмножеством множества действительных чисел: $ \mathbb{I} \subset \mathbb{R} $.
Ответ: верно.

г) каждое действительное число является иррациональным?

Нет, это утверждение неверно. Множество действительных чисел $ \mathbb{R} $ состоит из рациональных и иррациональных чисел. Рациональные числа (например, целые числа как 5, -10, или дроби как $ \frac{1}{2} $, 0.75) являются действительными, но по определению не являются иррациональными. Таким образом, существует множество действительных чисел (все рациональные числа), которые не являются иррациональными.
Ответ: неверно.

279. Верно ли, что:

a) $7,16 \in \mathbf{N}; 7,16 \in \mathbf{Z}; 7,16 \in \mathbf{Q}; 7,16 \in \mathbf{R};$

б) $409 \in \mathbf{N}; 409 \in \mathbf{Z}; 409 \in \mathbf{Q}; 409 \in \mathbf{R};$

в) $\pi \in \mathbf{N}; \pi \in \mathbf{Z}; \pi \in \mathbf{Q}; \pi \in \mathbf{R}$?

Для решения задачи необходимо вспомнить определения числовых множеств:

• $N$ — множество натуральных чисел. Это числа, используемые для счёта предметов: $\{1, 2, 3, ...\}$.
• $Z$ — множество целых чисел. Это натуральные числа, противоположные им числа и ноль: $\{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$.
• $Q$ — множество рациональных чисел. Это числа, которые можно представить в виде дроби $m/n$, где $m \in Z$, а $n \in N$. К ним относятся все целые и дробные (конечные и периодические десятичные) числа.
• $R$ — множество действительных (вещественных) чисел. Оно включает в себя все рациональные и иррациональные числа (бесконечные непериодические десятичные дроби).

Справедливы следующие вложения множеств: $N \subset Z \subset Q \subset R$.

а)

Рассмотрим каждое утверждение для числа 7,16.

1. Утверждение $7,16 \in N$. Множество натуральных чисел $N$ состоит из целых положительных чисел. Число 7,16 является дробным. Следовательно, утверждение $7,16 \in N$ неверно.

2. Утверждение $7,16 \in Z$. Множество целых чисел $Z$ не включает дробные числа. Число 7,16 не является целым. Следовательно, утверждение $7,16 \in Z$ неверно.

3. Утверждение $7,16 \in Q$. Число 7,16 является конечной десятичной дробью, его можно представить в виде обыкновенной дроби: $7,16 = \frac{716}{100} = \frac{179}{25}$. Так как число можно представить в виде дроби, где числитель — целое число, а знаменатель — натуральное, оно является рациональным. Следовательно, утверждение $7,16 \in Q$ верно.

4. Утверждение $7,16 \in R$. Множество действительных чисел $R$ включает в себя все рациональные числа. Поскольку $7,16 \in Q$, то оно также принадлежит и множеству $R$. Следовательно, утверждение $7,16 \in R$ верно.

Ответ: неверно, неверно, верно, верно.

б)

Рассмотрим каждое утверждение для числа 409.

1. Утверждение $409 \in N$. Число 409 — целое и положительное, оно используется при счете. Следовательно, утверждение $409 \in N$ верно.

2. Утверждение $409 \in Z$. Множество целых чисел $Z$ содержит все натуральные числа ($N \subset Z$). Так как $409 \in N$, то и $409 \in Z$. Следовательно, утверждение $409 \in Z$ верно.

3. Утверждение $409 \in Q$. Множество рациональных чисел $Q$ содержит все целые числа ($Z \subset Q$). Любое целое число $z$ можно представить в виде дроби $\frac{z}{1}$, например, $409 = \frac{409}{1}$. Следовательно, утверждение $409 \in Q$ верно.

4. Утверждение $409 \in R$. Множество действительных чисел $R$ содержит все рациональные числа ($Q \subset R$). Так как $409 \in Q$, то и $409 \in R$. Следовательно, утверждение $409 \in R$ верно.

Ответ: верно, верно, верно, верно.

в)

Рассмотрим каждое утверждение для числа $\pi$.

1. Утверждение $\pi \in N$. Число $\pi$ — это математическая константа, приблизительно равная $3,14159...$. Это не натуральное число. Следовательно, утверждение $\pi \in N$ неверно.

2. Утверждение $\pi \in Z$. Число $\pi$ не является целым. Следовательно, утверждение $\pi \in Z$ неверно.

3. Утверждение $\pi \in Q$. Число $\pi$ является иррациональным. Это означает, что его нельзя представить в виде дроби $m/n$. Его десятичное представление является бесконечным и непериодическим. Следовательно, утверждение $\pi \in Q$ неверно.

4. Утверждение $\pi \in R$. Множество действительных чисел $R$ состоит из объединения множеств рациональных и иррациональных чисел. Поскольку $\pi$ — иррациональное число, оно по определению является действительным. Следовательно, утверждение $\pi \in R$ верно.

Ответ: неверно, неверно, неверно, верно.

276. Приведите пример:

а) рационального числа;

б) иррационального числа.

а) рационального числа

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ является целым числом, а знаменатель $n$ — натуральным числом (т.е. целым и положительным).

Множество рациональных чисел включает в себя:

• Все целые числа, так как любое целое число $m$ можно записать как дробь $\frac{m}{1}$. Например, $5 = \frac{5}{1}$.
• Все конечные десятичные дроби. Например, $0,75$ можно записать как $\frac{75}{100}$, что после сокращения равно $\frac{3}{4}$.
• Все бесконечные периодические десятичные дроби. Например, $0,(6) = 0,666...$ можно представить в виде дроби $\frac{2}{3}$.

В качестве примера приведем число $-2,5$. Это конечная десятичная дробь. Её можно представить в виде дроби $-\frac{25}{10}$, которую можно сократить до $-\frac{5}{2}$. Здесь $m=-5$ (целое число) и $n=2$ (натуральное число), что полностью соответствует определению рационального числа.

Ответ: $\frac{3}{4}$

б) иррационального числа

Иррациональное число — это действительное число, которое не является рациональным, то есть его невозможно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$ с целым $m$ и натуральным $n$. Десятичное представление иррационального числа всегда является бесконечным и непериодическим (то есть в последовательности цифр после запятой нет повторяющегося блока).

К иррациональным числам относятся многие известные математические константы и корни из чисел, не являющихся полными квадратами.

• Число $\pi$ (пи) ≈ $3,14159265...$
• Число $e$ (число Эйлера) ≈ $2,71828182...$
• Квадратный корень из двух $\sqrt{2}$ ≈ $1,41421356...$
• Квадратный корень из трех $\sqrt{3}$ ≈ $1,73205080...$

Возьмем в качестве примера число $\sqrt{2}$. Это число, при умножении которого само на себя, получается 2. Математически доказано, что $\sqrt{2}$ нельзя представить в виде дроби двух целых чисел. Его десятичное представление бесконечно и не содержит повторяющихся комбинаций цифр, поэтому оно является иррациональным.

Ответ: $\sqrt{2}$

278. Среди чисел $1/7$; 0; 0,25; $-2,(3)$; 0,818118111... (число единиц, разделяющих восьмёрки, каждый раз увеличивается на одну); $4,2(51)$; 217; $\pi$ укажите рациональные и иррациональные.

Для того чтобы классифицировать данные числа на рациональные и иррациональные, необходимо вспомнить их определения.

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число. Десятичное представление рационального числа является либо конечным, либо бесконечным периодическим.

Иррациональное число — это число, которое нельзя представить в виде дроби $\frac{m}{n}$. Его десятичное представление является бесконечной непериодической дробью.

Проанализируем каждое число из списка:

Рациональные числа

К этой группе относятся числа, которые являются целыми, конечными десятичными дробями, обыкновенными дробями или бесконечными периодическими дробями.

• $\frac{1}{7}$ — это число уже представлено в виде обыкновенной дроби.
• $0$ — это целое число, его можно представить как дробь $\frac{0}{1}$.
• $0,25$ — это конечная десятичная дробь, которую можно представить в виде дроби $\frac{25}{100}$ или $\frac{1}{4}$.
• $-2,(3)$ — это бесконечная периодическая десятичная дробь ($-2,333...$). Любую периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной: $-2,(3) = -2\frac{3}{9} = -2\frac{1}{3} = -\frac{7}{3}$.
• $4,2(51)$ — это бесконечная периодическая десятичная дробь ($4,2515151...$). Период равен $51$. Она также может быть представлена в виде обыкновенной дроби $\frac{4209}{990}$.
• $217$ — это целое число, которое можно представить в виде дроби $\frac{217}{1}$.

Ответ: $\frac{1}{7}$; $0$; $0,25$; $-2,(3)$; $4,2(51)$; $217$.

Иррациональные числа

К этой группе относятся числа, десятичное представление которых бесконечно и непериодично.

• $0,818118111...$ — это бесконечная десятичная дробь. Согласно условию, число единиц, разделяющих восьмёрки, каждый раз увеличивается на одну. Это означает, что последовательность цифр не имеет повторяющегося периода, следовательно, число иррациональное.
• $\pi$ — число «пи» является фундаментальной математической константой, и известно, что оно иррациональное. Его десятичное представление бесконечно и непериодично.

Ответ: $0,818118111...$; $\pi$.

280. Сравните:

а) $7{,}653\dots$ и $7{,}563\dots$;

б) $0{,}123\dots$ и $0{,}114\dots$;

в) $-48{,}075\dots$ и $-48{,}275\dots$;

г) $-1{,}444\dots$ и $-1{,}456\dots$.

а) Для сравнения двух положительных десятичных дробей $7,653...$ и $7,563...$ будем последовательно сравнивать их разряды слева направо. Целые части у чисел одинаковы и равны $7$. Сравниваем цифры в разряде десятых: у первого числа это $6$, а у второго — $5$. Поскольку $6 > 5$, то первое число больше второго, независимо от последующих цифр.
Ответ: $7,653... > 7,563...$

б) Сравним числа $0,123...$ и $0,114...$. Целые части равны $0$. Цифры в разряде десятых также равны $1$. Переходим к разряду сотых. У первого числа в разряде сотых стоит цифра $2$, а у второго — $1$. Так как $2 > 1$, то первое число больше второго.
Ответ: $0,123... > 0,114...$

в) Сравним отрицательные числа $-48,075...$ и $-48,275...$. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Сравним модули этих чисел: $|-48,075...| = 48,075...$ и $|-48,275...| = 48,275...$. Целые части модулей равны $48$. Сравниваем цифры в разряде десятых: у первого числа это $0$, у второго — $2$. Так как $0 < 2$, то $48,075... < 48,275...$. Следовательно, для отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный: $-48,075... > -48,275...$.
Ответ: $-48,075... > -48,275...$

г) Сравним отрицательные числа $-1,444...$ и $-1,456...$. Как и в предыдущем пункте, из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше. Сравним модули: $|-1,444...| = 1,444...$ и $|-1,456...| = 1,456...$. Целые части равны $1$. Цифры в разряде десятых равны $4$. Сравниваем цифры в разряде сотых: у первого числа это $4$, у второго — $5$. Так как $4 < 5$, то $1,444... < 1,456...$. Значит, для исходных отрицательных чисел выполняется обратное неравенство.
Ответ: $-1,444... > -1,456...$