Номер 276, страница 71 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

11. Иррациональные числа. § 4. Действительные числа. Глава 2. Квадратные корни - номер 276, страница 71.

276. Приведите пример:

а) рационального числа;

б) иррационального числа.

а) рационального числа

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ является целым числом, а знаменатель $n$ — натуральным числом (т.е. целым и положительным).

Множество рациональных чисел включает в себя:

• Все целые числа, так как любое целое число $m$ можно записать как дробь $\frac{m}{1}$. Например, $5 = \frac{5}{1}$.
• Все конечные десятичные дроби. Например, $0,75$ можно записать как $\frac{75}{100}$, что после сокращения равно $\frac{3}{4}$.
• Все бесконечные периодические десятичные дроби. Например, $0,(6) = 0,666...$ можно представить в виде дроби $\frac{2}{3}$.

В качестве примера приведем число $-2,5$. Это конечная десятичная дробь. Её можно представить в виде дроби $-\frac{25}{10}$, которую можно сократить до $-\frac{5}{2}$. Здесь $m=-5$ (целое число) и $n=2$ (натуральное число), что полностью соответствует определению рационального числа.

Ответ: $\frac{3}{4}$

б) иррационального числа

Иррациональное число — это действительное число, которое не является рациональным, то есть его невозможно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$ с целым $m$ и натуральным $n$. Десятичное представление иррационального числа всегда является бесконечным и непериодическим (то есть в последовательности цифр после запятой нет повторяющегося блока).

К иррациональным числам относятся многие известные математические константы и корни из чисел, не являющихся полными квадратами.

• Число $\pi$ (пи) ≈ $3,14159265...$
• Число $e$ (число Эйлера) ≈ $2,71828182...$
• Квадратный корень из двух $\sqrt{2}$ ≈ $1,41421356...$
• Квадратный корень из трех $\sqrt{3}$ ≈ $1,73205080...$

Возьмем в качестве примера число $\sqrt{2}$. Это число, при умножении которого само на себя, получается 2. Математически доказано, что $\sqrt{2}$ нельзя представить в виде дроби двух целых чисел. Его десятичное представление бесконечно и не содержит повторяющихся комбинаций цифр, поэтому оно является иррациональным.

Ответ: $\sqrt{2}$