Номер 279, страница 71 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

11. Иррациональные числа. § 4. Действительные числа. Глава 2. Квадратные корни - номер 279, страница 71.

279. Верно ли, что:

a) $7,16 \in \mathbf{N}; 7,16 \in \mathbf{Z}; 7,16 \in \mathbf{Q}; 7,16 \in \mathbf{R};$

б) $409 \in \mathbf{N}; 409 \in \mathbf{Z}; 409 \in \mathbf{Q}; 409 \in \mathbf{R};$

в) $\pi \in \mathbf{N}; \pi \in \mathbf{Z}; \pi \in \mathbf{Q}; \pi \in \mathbf{R}$?

Для решения задачи необходимо вспомнить определения числовых множеств:

• $N$ — множество натуральных чисел. Это числа, используемые для счёта предметов: $\{1, 2, 3, ...\}$.
• $Z$ — множество целых чисел. Это натуральные числа, противоположные им числа и ноль: $\{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$.
• $Q$ — множество рациональных чисел. Это числа, которые можно представить в виде дроби $m/n$, где $m \in Z$, а $n \in N$. К ним относятся все целые и дробные (конечные и периодические десятичные) числа.
• $R$ — множество действительных (вещественных) чисел. Оно включает в себя все рациональные и иррациональные числа (бесконечные непериодические десятичные дроби).

Справедливы следующие вложения множеств: $N \subset Z \subset Q \subset R$.

а)

Рассмотрим каждое утверждение для числа 7,16.

1. Утверждение $7,16 \in N$. Множество натуральных чисел $N$ состоит из целых положительных чисел. Число 7,16 является дробным. Следовательно, утверждение $7,16 \in N$ неверно.

2. Утверждение $7,16 \in Z$. Множество целых чисел $Z$ не включает дробные числа. Число 7,16 не является целым. Следовательно, утверждение $7,16 \in Z$ неверно.

3. Утверждение $7,16 \in Q$. Число 7,16 является конечной десятичной дробью, его можно представить в виде обыкновенной дроби: $7,16 = \frac{716}{100} = \frac{179}{25}$. Так как число можно представить в виде дроби, где числитель — целое число, а знаменатель — натуральное, оно является рациональным. Следовательно, утверждение $7,16 \in Q$ верно.

4. Утверждение $7,16 \in R$. Множество действительных чисел $R$ включает в себя все рациональные числа. Поскольку $7,16 \in Q$, то оно также принадлежит и множеству $R$. Следовательно, утверждение $7,16 \in R$ верно.

Ответ: неверно, неверно, верно, верно.

б)

Рассмотрим каждое утверждение для числа 409.

1. Утверждение $409 \in N$. Число 409 — целое и положительное, оно используется при счете. Следовательно, утверждение $409 \in N$ верно.

2. Утверждение $409 \in Z$. Множество целых чисел $Z$ содержит все натуральные числа ($N \subset Z$). Так как $409 \in N$, то и $409 \in Z$. Следовательно, утверждение $409 \in Z$ верно.

3. Утверждение $409 \in Q$. Множество рациональных чисел $Q$ содержит все целые числа ($Z \subset Q$). Любое целое число $z$ можно представить в виде дроби $\frac{z}{1}$, например, $409 = \frac{409}{1}$. Следовательно, утверждение $409 \in Q$ верно.

4. Утверждение $409 \in R$. Множество действительных чисел $R$ содержит все рациональные числа ($Q \subset R$). Так как $409 \in Q$, то и $409 \in R$. Следовательно, утверждение $409 \in R$ верно.

Ответ: верно, верно, верно, верно.

в)

Рассмотрим каждое утверждение для числа $\pi$.

1. Утверждение $\pi \in N$. Число $\pi$ — это математическая константа, приблизительно равная $3,14159...$. Это не натуральное число. Следовательно, утверждение $\pi \in N$ неверно.

2. Утверждение $\pi \in Z$. Число $\pi$ не является целым. Следовательно, утверждение $\pi \in Z$ неверно.

3. Утверждение $\pi \in Q$. Число $\pi$ является иррациональным. Это означает, что его нельзя представить в виде дроби $m/n$. Его десятичное представление является бесконечным и непериодическим. Следовательно, утверждение $\pi \in Q$ неверно.

4. Утверждение $\pi \in R$. Множество действительных чисел $R$ состоит из объединения множеств рациональных и иррациональных чисел. Поскольку $\pi$ — иррациональное число, оно по определению является действительным. Следовательно, утверждение $\pi \in R$ верно.

Ответ: неверно, неверно, неверно, верно.