Номер 277, страница 71 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

11. Иррациональные числа. § 4. Действительные числа. Глава 2. Квадратные корни - номер 277, страница 71.

277. Верно ли, что:

а) каждое рациональное число является действительным;

б) каждое действительное число является рациональным;

в) каждое иррациональное число является действительным;

г) каждое действительное число является иррациональным?

а) каждое рациональное число является действительным;

Да, это утверждение верно. Множество действительных чисел (обозначается $ \mathbb{R} $) по определению является объединением множества рациональных чисел ($ \mathbb{Q} $) и множества иррациональных чисел ($ \mathbb{I} $). То есть, $ \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} $. Таким образом, любое рациональное число, которое можно представить в виде дроби $ \frac{m}{n} $, где $ m $ — целое число, а $ n $ — натуральное число, входит в состав множества действительных чисел. Множество рациональных чисел является подмножеством множества действительных чисел: $ \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} $.
Ответ: верно.

б) каждое действительное число является рациональным;

Нет, это утверждение неверно. Как указано выше, множество действительных чисел $ \mathbb{R} $ включает в себя как рациональные, так и иррациональные числа. Иррациональные числа — это действительные числа, которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби. Например, числа $ \sqrt{2} $, $ \pi $, $ e $ являются действительными, но не являются рациональными. Следовательно, не каждое действительное число является рациональным.
Ответ: неверно.

в) каждое иррациональное число является действительным;

Да, это утверждение верно. По определению, множество действительных чисел $ \mathbb{R} $ является объединением множества рациональных и иррациональных чисел $ \mathbb{I} $. Это означает, что любое иррациональное число по определению является действительным числом. Множество иррациональных чисел является подмножеством множества действительных чисел: $ \mathbb{I} \subset \mathbb{R} $.
Ответ: верно.

г) каждое действительное число является иррациональным?

Нет, это утверждение неверно. Множество действительных чисел $ \mathbb{R} $ состоит из рациональных и иррациональных чисел. Рациональные числа (например, целые числа как 5, -10, или дроби как $ \frac{1}{2} $, 0.75) являются действительными, но по определению не являются иррациональными. Таким образом, существует множество действительных чисел (все рациональные числа), которые не являются иррациональными.
Ответ: неверно.