Номер 270, страница 66 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

10. Рациональные числа. § 4. Действительные числа. Глава 2. Квадратные корни - номер 270, страница 66.

270. Укажите несколько чисел, заключённых между:

а) 10 и 10,1;

б) -0,001 и 0;

в) -1001 и -1000;

г) $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{3}$.

а) Чтобы найти числа, заключённые между 10 и 10,1, можно увеличить количество знаков после запятой у данных чисел. Представим 10 как 10,00 и 10,1 как 10,10. Теперь очевидно, что любое число $x$, для которого выполняется неравенство $10,00 < x < 10,10$, будет находиться в заданном интервале. Например, можно взять числа 10,01, 10,05 и 10,09.
Ответ: 10,01; 10,05; 10,09.

б) Требуется найти числа $x$, удовлетворяющие неравенству $-0,001 < x < 0$. Это отрицательные числа, которые по модулю меньше, чем 0,001. Например, если мы возьмём число с большим количеством знаков после запятой, такое как -0,0005, то оно будет удовлетворять условию, так как $-0,001 < -0,0005$ и $-0,0005 < 0$. Другими примерами могут служить -0,0002 и -0,0008.
Ответ: -0,0002; -0,0005; -0,0008.

в) Искомые числа $x$ должны удовлетворять строгому неравенству $-1001 < x < -1000$. Это могут быть любые десятичные дроби в этом интервале. Например, число -1000,5 больше, чем -1001, и меньше, чем -1000. Аналогично можно выбрать и другие числа в этом промежутке.
Ответ: -1000,1; -1000,5; -1000,9.

г) Чтобы найти числа между дробями $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{3}$, приведём их к общему знаменателю, который больше исходного. Например, выберем в качестве общего знаменателя 6. Тогда получим: $\frac{1}{3} = \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6}$
$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6}$
Между дробями $\frac{2}{6}$ и $\frac{4}{6}$ находится дробь $\frac{3}{6}$, которая после сокращения равна $\frac{1}{2}$.
Чтобы найти больше чисел, выберем знаменатель побольше, например 12. Тогда: $\frac{1}{3} = \frac{1 \times 4}{3 \times 4} = \frac{4}{12}$
$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}$
Между $\frac{4}{12}$ и $\frac{8}{12}$ находятся дроби $\frac{5}{12}$, $\frac{6}{12}$ (что равно $\frac{1}{2}$) и $\frac{7}{12}$.
Ответ: $\frac{5}{12}$; $\frac{1}{2}$; $\frac{7}{12}$.