Номер 268, страница 66 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

10. Рациональные числа. § 4. Действительные числа. Глава 2. Квадратные корни - номер 268, страница 66.

268. Сравните рациональные числа:

а) 0,013 и 0,1004;

б) -24 и 0,003;

в) -3,24 и -3,42;

г) $ \frac{3}{8} $ и 0,375;

д) -1,174 и $ -1\frac{7}{40} $;

е) $ \frac{10}{11} $ и $ \frac{11}{12} $;

ж) -2,005 и -2,04;

з) $ -1\frac{3}{4} $ и -1,75;

и) 0,437 и $ \frac{7}{16} $;

к) $ -\frac{1}{8} $ и -0,13.

а) Сравниваем два положительных десятичных числа: $0,013$ и $0,1004$. Для сравнения десятичных дробей сравниваем их поразрядно, начиная слева. Целые части обоих чисел равны $0$. Переходим к дробной части. Цифра в разряде десятых у числа $0,013$ равна $0$, а у числа $0,1004$ равна $1$. Так как $0 < 1$, то и все число $0,013$ меньше, чем $0,1004$.

Ответ: $0,013 < 0,1004$.

б) Сравниваем числа $-24$ и $0,003$. Одно число отрицательное, а другое положительное. Любое отрицательное число всегда меньше любого положительного числа.

Ответ: $-24 < 0,003$.

в) Сравниваем два отрицательных числа: $-3,24$ и $-3,42$. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Найдем модули чисел: $|-3,24| = 3,24$ и $|-3,42| = 3,42$. Сравним модули: $3,24$ и $3,42$. Целые части равны $3$. Цифры в разряде десятых: $2$ у первого числа и $4$ у второго. Так как $2 < 4$, то $3,24 < 3,42$. Поскольку мы сравниваем отрицательные числа, знак неравенства меняется на противоположный.

Ответ: $-3,24 > -3,42$.

г) Сравниваем дробь $\frac{3}{8}$ и десятичное число $0,375$. Для сравнения приведем их к одному виду. Переведем обыкновенную дробь $\frac{3}{8}$ в десятичную, разделив числитель на знаменатель: $3 \div 8 = 0,375$. Теперь сравниваем $0,375$ и $0,375$. Эти числа равны.

Ответ: $\frac{3}{8} = 0,375$.

д) Сравниваем два отрицательных числа: $-1,174$ и $-1\frac{7}{40}$. Переведем смешанную дробь в десятичную. Дробная часть $\frac{7}{40}$ равна $7 \div 40 = 0,175$. Значит, $-1\frac{7}{40} = -1,175$. Теперь сравним $-1,174$ и $-1,175$. Сравним их модули: $1,174$ и $1,175$. Поразрядное сравнение показывает, что в разряде тысячных $4 < 5$, следовательно $1,174 < 1,175$. Для отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный.

Ответ: $-1,174 > -1\frac{7}{40}$.

е) Сравниваем две обыкновенные дроби: $\frac{10}{11}$ и $\frac{11}{12}$. Чтобы их сравнить, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $11$ и $12$ равен $11 \times 12 = 132$.
$\frac{10}{11} = \frac{10 \times 12}{11 \times 12} = \frac{120}{132}$
$\frac{11}{12} = \frac{11 \times 11}{12 \times 11} = \frac{121}{132}$
Теперь сравниваем дроби с одинаковыми знаменателями: $\frac{120}{132}$ и $\frac{121}{132}$. Так как $120 < 121$, то и $\frac{120}{132} < \frac{121}{132}$.

Ответ: $\frac{10}{11} < \frac{11}{12}$.

ж) Сравниваем два отрицательных десятичных числа: $-2,005$ и $-2,04$. Сравним их модули: $2,005$ и $2,04$. Для удобства сравнения уравняем количество знаков после запятой, дописав ноль: $2,04 = 2,040$. Теперь сравним $2,005$ и $2,040$. Целые части равны. Разряд десятых тоже равен ($0$). В разряде сотых у первого числа $0$, у второго $4$. Так как $0 < 4$, то $2,005 < 2,040$. Для отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный.

Ответ: $-2,005 > -2,04$.

з) Сравниваем $-1\frac{3}{4}$ и $-1,75$. Переведем смешанную дробь в десятичную. Дробная часть $\frac{3}{4}$ равна $3 \div 4 = 0,75$. Таким образом, $-1\frac{3}{4} = -1,75$. Сравниваем $-1,75$ и $-1,75$. Числа равны.

Ответ: $-1\frac{3}{4} = -1,75$.

и) Сравниваем $0,437$ и $\frac{7}{16}$. Переведем обыкновенную дробь в десятичную: $7 \div 16 = 0,4375$. Теперь сравним $0,437$ и $0,4375$. Уравняем количество знаков после запятой: $0,437 = 0,4370$. Сравниваем $0,4370$ и $0,4375$. Так как $4370 < 4375$, то $0,4370 < 0,4375$.

Ответ: $0,437 < \frac{7}{16}$.

к) Сравниваем два отрицательных числа: $-\frac{1}{8}$ и $-0,13$. Переведем дробь $-\frac{1}{8}$ в десятичную. $1 \div 8 = 0,125$, следовательно $-\frac{1}{8} = -0,125$. Теперь сравним $-0,125$ и $-0,13$. Сравним их модули: $0,125$ и $0,13$. Уравняем число знаков после запятой: $0,13 = 0,130$. Сравниваем $0,125$ и $0,130$. Так как $125 < 130$, то $0,125 < 0,130$. Поскольку исходные числа отрицательные, знак неравенства меняется на противоположный.

Ответ: $-\frac{1}{8} > -0,13$.