Номер 281, страница 72 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

11. Иррациональные числа. § 4. Действительные числа. Глава 2. Квадратные корни - номер 281, страница 72.

281. Какое из чисел больше:

а) $1,(56)$ или $1,56$;

б) $-4,(45)$ или $-4,45$;

в) $1\frac{2}{3}$ или $1,6668$;

г) $-0,228$ или $-\frac{5}{22}$;

д) $\pi$ или $3,1415$;

е) $3,(14)$ или $\pi$?

а) Чтобы сравнить числа $1,(56)$ и $1,56$, представим их в развернутом виде. $1,(56)$ — это периодическая дробь, равная $1,565656...$. Число $1,56$ — это конечная десятичная дробь, которую можно записать как $1,560000...$. Сравним эти числа поразрядно. Целые части и первые две цифры после запятой ($5$ и $6$) у них совпадают. В разряде тысячных у числа $1,(56)$ стоит цифра $5$, а у числа $1,56$ — $0$. Так как $5 > 0$, то $1,(56) > 1,56$.
Ответ: $1,(56)$.

б) Сравним отрицательные числа $-4,(45)$ и $-4,45$. Сначала сравним их модули: $|-4,(45)| = 4,(45)$ и $|-4,45| = 4,45$. Число $4,(45)$ — это периодическая дробь $4,454545...$. Число $4,45$ — это $4,450000...$. Сравнивая их поразрядно, видим, что в разряде тысячных у первого числа стоит $4$, а у второго — $0$. Так как $4 > 0$, то $4,(45) > 4,45$. Для отрицательных чисел правило сравнения обратное: из двух отрицательных чисел больше то, чей модуль меньше. Следовательно, $-4,45 > -4,(45)$.
Ответ: $-4,45$.

в) Сравним числа $1\frac{2}{3}$ и $1,6668$. Переведем смешанную дробь $1\frac{2}{3}$ в десятичную. $2 \div 3 = 0,6666... = 0,(6)$. Таким образом, $1\frac{2}{3} = 1,(6) = 1,666666...$. Теперь сравним $1,6666...$ и $1,6668$. Первые три цифры после запятой ($666$) у них совпадают. В разряде десятитысячных у числа $1,(6)$ стоит цифра $6$, а у числа $1,6668$ — цифра $8$. Так как $6 < 8$, то $1,6666... < 1,6668$.
Ответ: $1,6668$.

г) Сравним отрицательные числа $-0,228$ и $-\frac{5}{22}$. Сначала сравним их модули. Переведем обыкновенную дробь $\frac{5}{22}$ в десятичную, разделив $5$ на $22$: $\frac{5}{22} = 0,227272... = 0,2(27)$. Теперь сравним модули $0,228$ и $0,2(27)$. Первые две цифры после запятой совпадают. В разряде тысячных у числа $0,228$ стоит цифра $8$, а у числа $0,2(27)$ — цифра $7$. Так как $8 > 7$, то $0,228 > 0,2(27)$. Поскольку мы сравниваем отрицательные числа, больше то, у которого модуль меньше. Следовательно, $-\frac{5}{22} > -0,228$.
Ответ: $-\frac{5}{22}$.

д) Сравним число $\pi$ и $3,1415$. Число $\pi$ — иррациональное, его приближенное значение с большим количеством знаков после запятой равно $3,14159265...$. Сравним $3,14159...$ и $3,1415$. Первые четыре цифры после запятой у них совпадают. В разряде стотысячных у числа $\pi$ стоит цифра $9$, а у числа $3,1415$ (которое можно записать как $3,14150...$) стоит $0$. Так как $9 > 0$, то $\pi > 3,1415$.
Ответ: $\pi$.

е) Сравним числа $3,(14)$ и $\pi$. Число $3,(14)$ — это периодическая дробь $3,141414...$. Число $\pi$ приблизительно равно $3,141592...$. Сравним эти два числа поразрядно. Целая часть и первые три цифры после запятой ($141$) совпадают. В разряде десятитысячных у числа $3,(14)$ стоит цифра $4$, а у числа $\pi$ — цифра $5$. Так как $4 < 5$, то $3,(14) < \pi$.
Ответ: $\pi$.