Номер 282, страница 72 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

11. Иррациональные числа. § 4. Действительные числа. Глава 2. Квадратные корни - номер 282, страница 72.

282. Сравните числа:

а) $9,835\dots$ и $9,847\dots$;

б) $-1,(27)$ и $-1,272$;

в) $0,06(3)$ и $0,0624$;

г) $2\frac{1}{7}$ и $2,142$;

д) $1,(375)$ и $1\frac{3}{8}$;

е) $-3,(16)$ и $-3\frac{4}{25}$.

а) Для сравнения двух положительных десятичных дробей $9,835...$ и $9,847...$ будем сравнивать их разряды слева направо. Целые части обоих чисел равны $9$. Десятые доли равны $8$. Сотые доли различны: у первого числа это $3$, а у второго $4$. Так как $3 < 4$, то первое число меньше второго.
Ответ: $9,835... < 9,847...$

б) Сравниваем два отрицательных числа: $-1,(27)$ и $-1,272$. Для этого сначала сравним их модули: $|-1,(27)| = 1,(27)$ и $|-1,272| = 1,272$. Число $1,(27)$ является периодической дробью и равно $1,272727...$. Сравниваем $1,272727...$ и $1,272$ по разрядам. Первые три знака после запятой совпадают. Разряд десятитысячных у числа $1,272727...$ равен $7$, а у числа $1,272$ (которое можно записать как $1,2720...$) равен $0$. Так как $7 > 0$, то $1,272727... > 1,272$. Следовательно, $|-1,(27)| > |-1,272|$. При сравнении отрицательных чисел больше то, чей модуль меньше. Значит, $-1,(27) < -1,272$.
Ответ: $-1,(27) < -1,272$.

в) Сравниваем два положительных числа: $0,06(3)$ и $0,0624$. Запишем периодическую дробь $0,06(3)$ в развернутом виде: $0,06333...$. Сравниваем $0,06333...$ и $0,0624$ по разрядам. Целые части, десятые и сотые доли совпадают. Разряд тысячных у первого числа равен $3$, а у второго $2$. Так как $3 > 2$, то первое число больше второго.
Ответ: $0,06(3) > 0,0624$.

г) Сравним смешанное число $2\frac{1}{7}$ и десятичную дробь $2,142$. Для этого представим смешанное число в виде десятичной дроби. Целая часть равна $2$. Найдем десятичное представление дроби $\frac{1}{7}$. $\frac{1}{7} = 1 \div 7 \approx 0,142857...$ Значит, $2\frac{1}{7} = 2,142857...$. Теперь сравним $2,142857...$ и $2,142$. Целые части и первые три знака после запятой ($142$) совпадают. Четвертый знак после запятой у числа $2,142857...$ равен $8$, а у числа $2,142$ (или $2,1420$) равен $0$. Так как $8 > 0$, то $2,142857... > 2,142$. Следовательно, $2\frac{1}{7} > 2,142$.
Ответ: $2\frac{1}{7} > 2,142$.

д) Сравним периодическую дробь $1,(375)$ и смешанное число $1\frac{3}{8}$. Переведем смешанное число в десятичную дробь. Целая часть равна $1$. Дробная часть $\frac{3}{8} = 3 \div 8 = 0,375$. Таким образом, $1\frac{3}{8} = 1,375$. Теперь сравним $1,(375)$ и $1,375$. Периодическая дробь $1,(375)$ записывается как $1,375375...$. Конечная дробь $1,375$ может быть записана как $1,375000...$. Первые три знака после запятой ($375$) у чисел совпадают. Четвертый знак после запятой у числа $1,375375...$ равен $3$, а у числа $1,375000...$ равен $0$. Так как $3 > 0$, то $1,375375... > 1,375$. Следовательно, $1,(375) > 1\frac{3}{8}$.
Ответ: $1,(375) > 1\frac{3}{8}$.

е) Сравним два отрицательных числа: $-3,(16)$ и $-3\frac{4}{25}$. Сначала сравним их модули: $|-3,(16)| = 3,(16)$ и $|-3\frac{4}{25}| = 3\frac{4}{25}$. Переведем смешанное число $3\frac{4}{25}$ в десятичную дробь. $3\frac{4}{25} = 3 + \frac{4 \times 4}{25 \times 4} = 3 + \frac{16}{100} = 3,16$. Периодическая дробь $3,(16)$ записывается как $3,161616...$. Сравним $3,161616...$ и $3,16$. Первые два знака после запятой ($16$) совпадают. Третий знак после запятой у числа $3,161616...$ равен $1$, а у числа $3,16$ (или $3,160$) равен $0$. Так как $1 > 0$, то $3,161616... > 3,16$. Следовательно, $|-3,(16)| > |-3\frac{4}{25}|$. Так как числа отрицательные, то больше то число, модуль которого меньше. Значит, $-3,(16) < -3\frac{4}{25}$.
Ответ: $-3,(16) < -3\frac{4}{25}$.