Страница 73 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

291. Найдите приближённое значение площади круга, радиус которого равен 10 м (число $ \pi $ округлите до сотых).

Для того чтобы найти площадь круга, необходимо воспользоваться формулой:

$S = \pi r^2$

где $S$ — это площадь круга, а $r$ — это его радиус.

В условии задачи даны следующие значения:

• Радиус круга: $r = 10$ м.
• Число $\pi$ нужно округлить до сотых: $\pi \approx 3.14$.

Теперь подставим эти значения в формулу для вычисления площади:

$S \approx 3.14 \times (10 \text{ м})^2$

Сначала возведем радиус в квадрат:

$10^2 = 100$

Затем умножим полученное значение на округленное число $\pi$:

$S \approx 3.14 \times 100 \text{ м}^2$

$S \approx 314 \text{ м}^2$

Ответ: приближённое значение площади круга равно 314 м².

293. Известно, что $a^2$, $b^2$, $a - b$ — рациональные числа и $a \neq b$.

Каким числом, рациональным или иррациональным, является сумма $a + b$?

По условию задачи, числа $a^2$, $b^2$ и $a-b$ являются рациональными. Также дано, что $a \neq b$. Нам нужно определить, является ли сумма $a+b$ рациональным или иррациональным числом.

Рассмотрим известное тождество — формулу разности квадратов:

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

Поскольку по условию $a \neq b$, то разность $a-b$ не равна нулю. Следовательно, мы можем разделить обе части равенства на $(a-b)$, чтобы выразить искомую сумму $a+b$:

$a+b = \frac{a^2 - b^2}{a-b}$

Теперь проанализируем правую часть этого выражения:

1. Числитель дроби: $a^2 - b^2$. Так как $a^2$ и $b^2$ — рациональные числа по условию, их разность $a^2 - b^2$ также является рациональным числом (поскольку множество рациональных чисел замкнуто относительно операции вычитания).

2. Знаменатель дроби: $a-b$. По условию, это число является рациональным и не равным нулю.

Таким образом, выражение для $a+b$ представляет собой частное от деления одного рационального числа ($a^2 - b^2$) на другое, не равное нулю, рациональное число ($a-b$). Результат такого деления всегда является рациональным числом.

Следовательно, сумма $a+b$ является рациональным числом.

Ответ: Сумма $a+b$ является рациональным числом.

295. Найдите значение выражения:

а) $ |28x - 8| $ при $x = -2,5; 0; 4; 5; 9,5;$

б) $ |6 - 12x| $ при $x = -3; -1; 0; 1; 4.$

а) Вычислим значение выражения $|28x - 8|$ для каждого из предложенных значений $x$.

При $x = -2,5$:

$|28 \cdot (-2,5) - 8| = |-70 - 8| = |-78| = 78$.

Ответ: 78

При $x = 0$:

$|28 \cdot 0 - 8| = |0 - 8| = |-8| = 8$.

Ответ: 8

При $x = 4$:

$|28 \cdot 4 - 8| = |112 - 8| = |104| = 104$.

Ответ: 104

При $x = 5$:

$|28 \cdot 5 - 8| = |140 - 8| = |132| = 132$.

Ответ: 132

При $x = 9,5$:

$|28 \cdot 9,5 - 8| = |266 - 8| = |258| = 258$.

Ответ: 258

б) Вычислим значение выражения $|6 - 12x|$ для каждого из предложенных значений $x$.

При $x = -3$:

$|6 - 12 \cdot (-3)| = |6 - (-36)| = |6 + 36| = |42| = 42$.

Ответ: 42

При $x = -1$:

$|6 - 12 \cdot (-1)| = |6 - (-12)| = |6 + 12| = |18| = 18$.

Ответ: 18

При $x = 0$:

$|6 - 12 \cdot 0| = |6 - 0| = |6| = 6$.

Ответ: 6

При $x = 1$:

$|6 - 12 \cdot 1| = |6 - 12| = |-6| = 6$.

Ответ: 6

При $x = 4$:

$|6 - 12 \cdot 4| = |6 - 48| = |-42| = 42$.

Ответ: 42

297. При каких значениях $a$ и $b$ графики функций $y = x + b$ и $y = ax - 2b$ пересекаются в точке (3; 1)?

По условию задачи, графики функций $y = x + b$ и $y = ax - 2b$ пересекаются в точке с координатами (3; 1). Это означает, что если подставить значения $x = 3$ и $y = 1$ в каждое из уравнений, то оба равенства будут верными. Это позволяет нам составить систему уравнений относительно неизвестных параметров $a$ и $b$.

Подставим координаты точки $(3; 1)$ в первое уравнение $y = x + b$:
$1 = 3 + b$
Из этого уравнения можно сразу выразить и найти значение $b$:
$b = 1 - 3$
$b = -2$

Теперь подставим координаты точки $(3; 1)$ во второе уравнение $y = ax - 2b$:
$1 = a \cdot 3 - 2b$
$1 = 3a - 2b$

Мы получили систему уравнений, которую нужно решить:

$\begin{cases} 1 = 3 + b \\ 1 = 3a - 2b \end{cases}$

Из первого уравнения мы уже нашли, что $b = -2$. Подставим это значение во второе уравнение системы, чтобы найти $a$:
$1 = 3a - 2(-2)$
$1 = 3a + 4$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $a$:
$3a = 1 - 4$
$3a = -3$
$a = \frac{-3}{3}$
$a = -1$

Таким образом, мы определили, что графики данных функций пересекаются в точке (3; 1) при значениях параметров $a = -1$ и $b = -2$.

Ответ: $a = -1, b = -2$.

292. Является ли рациональным или иррациональным числом сумма $a + b$, где $a = 1,323223222...$ (группы цифр, состоящие из одной, двух, трёх двоек и т. д., разделяются тройками) и $b = 2,313113111...$ (группы цифр, состоящие из одной, двух, трёх единиц и т. д., разделяются тройками)?

Для того чтобы определить, является ли сумма $a+b$ рациональным или иррациональным числом, проанализируем сначала каждое из чисел $a$ и $b$ по отдельности, а затем их сумму.

1. Анализ числа $a$

Число $a = 1,323223222...$ определено как число, в котором после запятой идут группы двоек, разделенные тройками. Длина этих групп последовательно увеличивается: одна двойка, затем две, затем три и так далее. Десятичная запись этого числа является бесконечной. Чтобы число было рациональным, его десятичная запись должна быть периодической. В данном случае длина групп двоек постоянно растет и никогда не повторяется, следовательно, периода нет. Таким образом, число $a$ является иррациональным.

2. Анализ числа $b$

Число $b = 2,313113111...$ устроено аналогично числу $a$: группы единиц, разделенные тройками, с постоянно увеличивающейся длиной групп (одна, две, три единицы и т.д.). По той же причине, что и для числа $a$, десятичная запись числа $b$ является бесконечной и непериодической. Следовательно, число $b$ также является иррациональным.

3. Анализ суммы $a+b$

Сумма двух иррациональных чисел может быть как рациональным, так и иррациональным числом. Чтобы определить природу суммы $a+b$, выполним сложение этих чисел. Сложение можно провести поразрядно (в столбик), так как сумма цифр в любом разряде не превышает 9 (максимальная сумма $3+3=6$), и, следовательно, не возникает переноса в старший разряд.

Запишем числа одно под другим:

a = 1,3 2 3 22 3 222 3 2222...
+ b = 2,3 1 3 11 3 111 3 1111...
------------------------------------
a+b = 3,6 3 6 33 6 333 6 3333...

Рассмотрим, как формируются цифры в десятичной записи суммы $a+b$:

• Целая часть суммы равна $1+2=3$.
• Тройки в десятичных записях чисел $a$ и $b$ служат разделителями и находятся на одних и тех же позициях. При сложении на этих позициях получается цифра $3+3=6$.
• На тех позициях, где в числе $a$ стоит цифра '2', в числе $b$ стоит цифра '1'. При сложении на этих позициях получается цифра $2+1=3$.

В результате мы получаем число $a+b = 3,63633633363333...$

Десятичная запись этого числа состоит из групп троек, разделенных шестерками. Количество троек в каждой следующей группе увеличивается на единицу (сначала одна тройка, потом две, потом три и так далее). Такая последовательность цифр не является периодической, так как длина блоков из троек постоянно растет. Бесконечная непериодическая десятичная дробь представляет иррациональное число.

Ответ: Сумма $a+b$ является иррациональным числом.

294. Упростите выражение:

а) $ (1 - \frac{3x^2}{1-x^2}) : (\frac{x}{x+1} + 1); $

б) $ (\frac{a+b}{b} - \frac{a}{a+b}) : (\frac{a+b}{a} - \frac{b}{a+b}). $

а) $\left(1 - \frac{3x^2}{1-x^2}\right) : \left(\frac{x}{x+1} + 1\right)$

1. Упростим выражение в первых скобках. Для этого приведем его к общему знаменателю $(1-x^2)$:

$1 - \frac{3x^2}{1-x^2} = \frac{1(1-x^2)}{1-x^2} - \frac{3x^2}{1-x^2} = \frac{1-x^2-3x^2}{1-x^2} = \frac{1-4x^2}{1-x^2}$

2. Упростим выражение во вторых скобках, приведя его к общему знаменателю $(x+1)$:

$\frac{x}{x+1} + 1 = \frac{x}{x+1} + \frac{x+1}{x+1} = \frac{x+x+1}{x+1} = \frac{2x+1}{x+1}$

3. Теперь выполним деление полученных выражений. Деление на дробь заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь:

$\frac{1-4x^2}{1-x^2} : \frac{2x+1}{x+1} = \frac{1-4x^2}{1-x^2} \cdot \frac{x+1}{2x+1}$

4. Разложим числитель и знаменатель первой дроби на множители по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$1-4x^2 = 1^2 - (2x)^2 = (1-2x)(1+2x)$

$1-x^2 = 1^2 - x^2 = (1-x)(1+x)$

5. Подставим разложенные выражения обратно в пример и произведем сокращение:

$\frac{(1-2x)(1+2x)}{(1-x)(1+x)} \cdot \frac{x+1}{2x+1}$

Так как $1+2x = 2x+1$ и $1+x = x+1$, мы можем сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$\frac{(1-2x)\cancel{(1+2x)}}{(1-x)\cancel{(1+x)}} \cdot \frac{\cancel{x+1}}{\cancel{2x+1}} = \frac{1-2x}{1-x}$

Ответ: $\frac{1-2x}{1-x}$

б) $\left(\frac{a+b}{b} - \frac{a}{a+b}\right) : \left(\frac{a+b}{a} - \frac{b}{a+b}\right)$

1. Упростим выражение в первых скобках. Общий знаменатель для дробей будет $b(a+b)$:

$\frac{a+b}{b} - \frac{a}{a+b} = \frac{(a+b)(a+b)}{b(a+b)} - \frac{a \cdot b}{b(a+b)} = \frac{(a+b)^2 - ab}{b(a+b)}$

Раскроем квадрат суммы в числителе: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

$\frac{a^2+2ab+b^2 - ab}{b(a+b)} = \frac{a^2+ab+b^2}{b(a+b)}$

2. Упростим выражение во вторых скобках. Общий знаменатель будет $a(a+b)$:

$\frac{a+b}{a} - \frac{b}{a+b} = \frac{(a+b)(a+b)}{a(a+b)} - \frac{b \cdot a}{a(a+b)} = \frac{(a+b)^2 - ab}{a(a+b)}$

Числитель упрощается аналогично первому действию:

$\frac{a^2+2ab+b^2 - ab}{a(a+b)} = \frac{a^2+ab+b^2}{a(a+b)}$

3. Выполним деление результатов, полученных в шагах 1 и 2:

$\frac{a^2+ab+b^2}{b(a+b)} : \frac{a^2+ab+b^2}{a(a+b)} = \frac{a^2+ab+b^2}{b(a+b)} \cdot \frac{a(a+b)}{a^2+ab+b^2}$

4. Сократим одинаковые множители. Выражение $(a^2+ab+b^2)$ и $(a+b)$ присутствуют и в числителе, и в знаменателе:

$\frac{\cancel{a^2+ab+b^2}}{b\cancel{(a+b)}} \cdot \frac{a\cancel{(a+b)}}{\cancel{a^2+ab+b^2}} = \frac{a}{b}$

Ответ: $\frac{a}{b}$

296. Известно, что график функции $y = \frac{k}{x}$ проходит через точку $A(4; -0,5)$. Найдите $k$ и постройте этот график.

Найдите k

Функция задана уравнением $y = \frac{k}{x}$. Известно, что график этой функции проходит через точку $A(4; -0,5)$. Это означает, что при подстановке координат точки $A$ в уравнение функции мы получим верное равенство.

Подставим $x = 4$ и $y = -0,5$ в уравнение функции:
$-0,5 = \frac{k}{4}$

Чтобы найти $k$, умножим обе части уравнения на 4:
$k = -0,5 \times 4$
$k = -2$

Таким образом, уравнение функции имеет вид: $y = -\frac{2}{x}$.

Ответ: $k = -2$.

Постройте этот график

Теперь нам нужно построить график функции $y = -\frac{2}{x}$. Это обратная пропорциональность, графиком которой является гипербола. Поскольку коэффициент $k = -2$ отрицательный, ветви гиперболы будут расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат ($x=0$ и $y=0$).

Для построения графика составим таблицу значений для нескольких точек:

Теперь отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавными линиями, получая две ветви гиперболы.

Ответ: Графиком функции является гипербола $y = -\frac{2}{x}$ с ветвями во II и IV координатных четвертях, проходящая через точки, указанные в таблице и изображенная на рисунке.

2 Какие действительные числа можно и какие нельзя представить в виде отношения целого числа к натуральному?

Какие действительные числа можно представить в виде отношения целого числа к натуральному?
Действительные числа, которые можно представить в виде отношения целого числа к натуральному, называются рациональными числами. По определению, любое рациональное число $r$ может быть записано в виде дроби $r = \frac{p}{q}$, где $p$ — целое число ($p \in \mathbb{Z}$), а $q$ — натуральное число ($q \in \mathbb{N}$).

К рациональным числам относятся:

• Все целые числа. Например, число 5 можно представить как $\frac{5}{1}$, а число -12 как $\frac{-12}{1}$.
• Все конечные десятичные дроби. Например, 0,75 можно представить как $\frac{75}{100}$ или, после сокращения, как $\frac{3}{4}$. Число -1,8 можно представить как $\frac{-18}{10}$ или $\frac{-9}{5}$.
• Все бесконечные периодические десятичные дроби. Например, число $0,333...$ (или $0,(3)$) равно дроби $\frac{1}{3}$. Число $0,1(6)$ равно $\frac{1}{6}$.

Таким образом, любое число, чья десятичная запись либо конечна, либо бесконечна, но периодична, является рациональным и может быть представлено в виде искомого отношения.
Ответ: Рациональные числа.

Какие действительные числа нельзя представить в виде отношения целого числа к натуральному?
Действительные числа, которые нельзя представить в виде отношения целого числа к натуральному, называются иррациональными числами.

Характерным свойством иррациональных чисел является то, что их десятичное представление является бесконечным и непериодическим. Это означает, что в их десятичной записи нет повторяющейся последовательности цифр.

Примерами иррациональных чисел являются:

• Число $\pi$ (пи), равное отношению длины окружности к её диаметру: $\pi \approx 3,1415926535...$
• Число $e$ (число Эйлера), основание натурального логарифма: $e \approx 2,7182818284...$
• Корни из чисел, не являющихся точными квадратами (кубами и т.д.). Например, $\sqrt{2} \approx 1,41421356...$ или $\sqrt{3} \approx 1,7320508...$

Доказано, что такие числа невозможно записать в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p \in \mathbb{Z}$ и $q \in \mathbb{N}$.
Ответ: Иррациональные числа.

Верно ли, что:

$5,46 \in \mathbb{N}$, $-3 \in \mathbb{Z}$, $6,8 \notin \mathbb{Z}$, $-11,6(3) \in \mathbb{R}$, $12\pi \notin \mathbb{R}$?

$5,46 \in N$

Данное утверждение неверно. Множество натуральных чисел $N$ состоит из целых положительных чисел, используемых при счете: $N = \{1, 2, 3, ...\}$. Число $5,46$ является десятичной дробью, а не натуральным числом.
Ответ: неверно.

$-3 \in Z$

Данное утверждение верно. Множество целых чисел $Z$ включает в себя натуральные числа, им противоположные числа и ноль: $Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$. Число $-3$ является целым отрицательным числом, следовательно, принадлежит множеству $Z$.
Ответ: верно.

$6,8 \notin Z$

Данное утверждение верно. Множество целых чисел $Z$ не содержит дробных чисел. Число $6,8$ является десятичной дробью. Знак $\notin$ означает "не принадлежит". Следовательно, $6,8$ не принадлежит множеству целых чисел $Z$.
Ответ: верно.

$-11,6(3) \in R$

Данное утверждение верно. Множество действительных (или вещественных) чисел $R$ включает в себя все рациональные и иррациональные числа. Число $-11,6(3)$ является бесконечной периодической десятичной дробью. Любая такая дробь является рациональным числом (ее можно представить в виде обыкновенной дроби, в данном случае $-11,6(3) = - \frac{349}{30}$). Все рациональные числа входят в множество действительных чисел.
Ответ: верно.

$12\pi \notin R$

Данное утверждение неверно. Число $\pi$ является иррациональным числом. Произведение ненулевого рационального числа (12) на иррациональное число ($\pi$) также является иррациональным числом. Все иррациональные числа по определению входят в множество действительных чисел $R$. Следовательно, число $12\pi$ принадлежит множеству $R$. Утверждение, что оно не принадлежит $R$, ложно.
Ответ: неверно.

1 Какие числа образуют множество действительных чисел?

Множество действительных (или вещественных) чисел, обозначаемое символом $\mathbb{R}$, представляет собой объединение двух больших множеств чисел: рациональных чисел и иррациональных чисел. Любое действительное число является либо рациональным, либо иррациональным.

1. Рациональные числа

Это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ — целое число ($m \in \mathbb{Z}$), а знаменатель $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$). Множество рациональных чисел обозначается символом $\mathbb{Q}$.

К рациональным числам относятся:

• Натуральные числа (числа, используемые при счете): $1, 2, 100$.
• Целые числа (натуральные числа, им противоположные и ноль): $-5, -1, 0, 8$.
• Дробные числа, которые могут быть представлены в виде конечной десятичной дроби (например, $0.25 = \frac{1}{4}$) или бесконечной периодической десятичной дроби (например, $0.(3) = 0.333\ldots = \frac{1}{3}$).

2. Иррациональные числа

Это числа, которые нельзя представить в виде дроби $\frac{m}{n}$. В виде десятичной дроби они представляются как бесконечные непериодические дроби.

Примеры иррациональных чисел:

• Число $\pi$ (отношение длины окружности к ее диаметру): $\pi \approx 3.14159265\ldots$
• Число $e$ (основание натурального логарифма): $e \approx 2.71828182\ldots$
• Квадратные корни из чисел, не являющихся точными квадратами: $\sqrt{2} \approx 1.41421356\ldots$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{10}$.

Таким образом, множество действительных чисел — это совокупность всех рациональных и всех иррациональных чисел. Геометрически действительные числа заполняют всю числовую прямую без пробелов.

Ответ: Множество действительных чисел образуют рациональные и иррациональные числа.

3 Приведите пример бесконечной десятичной дроби, которая является:
а) рациональным числом;
б) иррациональным числом.

а) рациональным числом

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число. Бесконечная десятичная дробь является рациональным числом тогда и только тогда, когда она является периодической, то есть содержит бесконечно повторяющуюся последовательность цифр (период).

В качестве примера приведем обыкновенную дробь $\frac{1}{3}$. Чтобы представить ее в виде десятичной дроби, нужно разделить числитель на знаменатель:

$1 \div 3 = 0.3333...$

Это бесконечная периодическая десятичная дробь с периодом 3. Ее можно записать как $0.(3)$. Поскольку это число можно представить в виде дроби $\frac{1}{3}$, оно является рациональным.

Ответ: $0.333...$ (или $0.(3)$).

б) иррациональным числом

Иррациональное число — это число, которое нельзя представить в виде дроби $\frac{m}{n}$. В виде десятичной дроби иррациональное число представляется как бесконечная непериодическая дробь. Это означает, что последовательность цифр после запятой никогда не заканчивается и не имеет повторяющегося периода.

Классическими примерами иррациональных чисел являются $\pi$ (пи) и $\sqrt{2}$.

$\pi \approx 3.1415926535...$

$\sqrt{2} \approx 1.4142135623...$

Можно также сконструировать пример самостоятельно. Создадим число, десятичная запись которого следует определенному правилу, но не имеет периода. Например, запишем последовательно единицы, разделяя их увеличивающимся количеством нулей:

$0.101001000100001...$

В этой дроби количество нулей между единицами постоянно растет, поэтому никакой блок цифр не может периодически повторяться. Следовательно, это число является иррациональным.

Ответ: $0.1010010001...$