Номер 294, страница 73 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

11. Иррациональные числа. § 4. Действительные числа. Глава 2. Квадратные корни - номер 294, страница 73.

294. Упростите выражение:

а) $ (1 - \frac{3x^2}{1-x^2}) : (\frac{x}{x+1} + 1); $

б) $ (\frac{a+b}{b} - \frac{a}{a+b}) : (\frac{a+b}{a} - \frac{b}{a+b}). $

а) $\left(1 - \frac{3x^2}{1-x^2}\right) : \left(\frac{x}{x+1} + 1\right)$

1. Упростим выражение в первых скобках. Для этого приведем его к общему знаменателю $(1-x^2)$:

$1 - \frac{3x^2}{1-x^2} = \frac{1(1-x^2)}{1-x^2} - \frac{3x^2}{1-x^2} = \frac{1-x^2-3x^2}{1-x^2} = \frac{1-4x^2}{1-x^2}$

2. Упростим выражение во вторых скобках, приведя его к общему знаменателю $(x+1)$:

$\frac{x}{x+1} + 1 = \frac{x}{x+1} + \frac{x+1}{x+1} = \frac{x+x+1}{x+1} = \frac{2x+1}{x+1}$

3. Теперь выполним деление полученных выражений. Деление на дробь заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь:

$\frac{1-4x^2}{1-x^2} : \frac{2x+1}{x+1} = \frac{1-4x^2}{1-x^2} \cdot \frac{x+1}{2x+1}$

4. Разложим числитель и знаменатель первой дроби на множители по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$1-4x^2 = 1^2 - (2x)^2 = (1-2x)(1+2x)$

$1-x^2 = 1^2 - x^2 = (1-x)(1+x)$

5. Подставим разложенные выражения обратно в пример и произведем сокращение:

$\frac{(1-2x)(1+2x)}{(1-x)(1+x)} \cdot \frac{x+1}{2x+1}$

Так как $1+2x = 2x+1$ и $1+x = x+1$, мы можем сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$\frac{(1-2x)\cancel{(1+2x)}}{(1-x)\cancel{(1+x)}} \cdot \frac{\cancel{x+1}}{\cancel{2x+1}} = \frac{1-2x}{1-x}$

Ответ: $\frac{1-2x}{1-x}$

б) $\left(\frac{a+b}{b} - \frac{a}{a+b}\right) : \left(\frac{a+b}{a} - \frac{b}{a+b}\right)$

1. Упростим выражение в первых скобках. Общий знаменатель для дробей будет $b(a+b)$:

$\frac{a+b}{b} - \frac{a}{a+b} = \frac{(a+b)(a+b)}{b(a+b)} - \frac{a \cdot b}{b(a+b)} = \frac{(a+b)^2 - ab}{b(a+b)}$

Раскроем квадрат суммы в числителе: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

$\frac{a^2+2ab+b^2 - ab}{b(a+b)} = \frac{a^2+ab+b^2}{b(a+b)}$

2. Упростим выражение во вторых скобках. Общий знаменатель будет $a(a+b)$:

$\frac{a+b}{a} - \frac{b}{a+b} = \frac{(a+b)(a+b)}{a(a+b)} - \frac{b \cdot a}{a(a+b)} = \frac{(a+b)^2 - ab}{a(a+b)}$

Числитель упрощается аналогично первому действию:

$\frac{a^2+2ab+b^2 - ab}{a(a+b)} = \frac{a^2+ab+b^2}{a(a+b)}$

3. Выполним деление результатов, полученных в шагах 1 и 2:

$\frac{a^2+ab+b^2}{b(a+b)} : \frac{a^2+ab+b^2}{a(a+b)} = \frac{a^2+ab+b^2}{b(a+b)} \cdot \frac{a(a+b)}{a^2+ab+b^2}$

4. Сократим одинаковые множители. Выражение $(a^2+ab+b^2)$ и $(a+b)$ присутствуют и в числителе, и в знаменателе:

$\frac{\cancel{a^2+ab+b^2}}{b\cancel{(a+b)}} \cdot \frac{a\cancel{(a+b)}}{\cancel{a^2+ab+b^2}} = \frac{a}{b}$

Ответ: $\frac{a}{b}$