Номер 292, страница 73 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

11. Иррациональные числа. § 4. Действительные числа. Глава 2. Квадратные корни - номер 292, страница 73.

292. Является ли рациональным или иррациональным числом сумма $a + b$, где $a = 1,323223222...$ (группы цифр, состоящие из одной, двух, трёх двоек и т. д., разделяются тройками) и $b = 2,313113111...$ (группы цифр, состоящие из одной, двух, трёх единиц и т. д., разделяются тройками)?

Для того чтобы определить, является ли сумма $a+b$ рациональным или иррациональным числом, проанализируем сначала каждое из чисел $a$ и $b$ по отдельности, а затем их сумму.

1. Анализ числа $a$

Число $a = 1,323223222...$ определено как число, в котором после запятой идут группы двоек, разделенные тройками. Длина этих групп последовательно увеличивается: одна двойка, затем две, затем три и так далее. Десятичная запись этого числа является бесконечной. Чтобы число было рациональным, его десятичная запись должна быть периодической. В данном случае длина групп двоек постоянно растет и никогда не повторяется, следовательно, периода нет. Таким образом, число $a$ является иррациональным.

2. Анализ числа $b$

Число $b = 2,313113111...$ устроено аналогично числу $a$: группы единиц, разделенные тройками, с постоянно увеличивающейся длиной групп (одна, две, три единицы и т.д.). По той же причине, что и для числа $a$, десятичная запись числа $b$ является бесконечной и непериодической. Следовательно, число $b$ также является иррациональным.

3. Анализ суммы $a+b$

Сумма двух иррациональных чисел может быть как рациональным, так и иррациональным числом. Чтобы определить природу суммы $a+b$, выполним сложение этих чисел. Сложение можно провести поразрядно (в столбик), так как сумма цифр в любом разряде не превышает 9 (максимальная сумма $3+3=6$), и, следовательно, не возникает переноса в старший разряд.

Запишем числа одно под другим:

a = 1,3 2 3 22 3 222 3 2222...
+ b = 2,3 1 3 11 3 111 3 1111...
------------------------------------
a+b = 3,6 3 6 33 6 333 6 3333...

Рассмотрим, как формируются цифры в десятичной записи суммы $a+b$:

• Целая часть суммы равна $1+2=3$.
• Тройки в десятичных записях чисел $a$ и $b$ служат разделителями и находятся на одних и тех же позициях. При сложении на этих позициях получается цифра $3+3=6$.
• На тех позициях, где в числе $a$ стоит цифра '2', в числе $b$ стоит цифра '1'. При сложении на этих позициях получается цифра $2+1=3$.

В результате мы получаем число $a+b = 3,63633633363333...$

Десятичная запись этого числа состоит из групп троек, разделенных шестерками. Количество троек в каждой следующей группе увеличивается на единицу (сначала одна тройка, потом две, потом три и так далее). Такая последовательность цифр не является периодической, так как длина блоков из троек постоянно растет. Бесконечная непериодическая десятичная дробь представляет иррациональное число.

Ответ: Сумма $a+b$ является иррациональным числом.