Номер 293, страница 73 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

11. Иррациональные числа. § 4. Действительные числа. Глава 2. Квадратные корни - номер 293, страница 73.

293. Известно, что $a^2$, $b^2$, $a - b$ — рациональные числа и $a \neq b$.

Каким числом, рациональным или иррациональным, является сумма $a + b$?

По условию задачи, числа $a^2$, $b^2$ и $a-b$ являются рациональными. Также дано, что $a \neq b$. Нам нужно определить, является ли сумма $a+b$ рациональным или иррациональным числом.

Рассмотрим известное тождество — формулу разности квадратов:

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

Поскольку по условию $a \neq b$, то разность $a-b$ не равна нулю. Следовательно, мы можем разделить обе части равенства на $(a-b)$, чтобы выразить искомую сумму $a+b$:

$a+b = \frac{a^2 - b^2}{a-b}$

Теперь проанализируем правую часть этого выражения:

1. Числитель дроби: $a^2 - b^2$. Так как $a^2$ и $b^2$ — рациональные числа по условию, их разность $a^2 - b^2$ также является рациональным числом (поскольку множество рациональных чисел замкнуто относительно операции вычитания).

2. Знаменатель дроби: $a-b$. По условию, это число является рациональным и не равным нулю.

Таким образом, выражение для $a+b$ представляет собой частное от деления одного рационального числа ($a^2 - b^2$) на другое, не равное нулю, рациональное число ($a-b$). Результат такого деления всегда является рациональным числом.

Следовательно, сумма $a+b$ является рациональным числом.

Ответ: Сумма $a+b$ является рациональным числом.