Номер 3, страница 73 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 4. Действительные числа. Глава 2. Квадратные корни - номер 3, страница 73.

3 Приведите пример бесконечной десятичной дроби, которая является:
а) рациональным числом;
б) иррациональным числом.

а) рациональным числом

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число. Бесконечная десятичная дробь является рациональным числом тогда и только тогда, когда она является периодической, то есть содержит бесконечно повторяющуюся последовательность цифр (период).

В качестве примера приведем обыкновенную дробь $\frac{1}{3}$. Чтобы представить ее в виде десятичной дроби, нужно разделить числитель на знаменатель:

$1 \div 3 = 0.3333...$

Это бесконечная периодическая десятичная дробь с периодом 3. Ее можно записать как $0.(3)$. Поскольку это число можно представить в виде дроби $\frac{1}{3}$, оно является рациональным.

Ответ: $0.333...$ (или $0.(3)$).

б) иррациональным числом

Иррациональное число — это число, которое нельзя представить в виде дроби $\frac{m}{n}$. В виде десятичной дроби иррациональное число представляется как бесконечная непериодическая дробь. Это означает, что последовательность цифр после запятой никогда не заканчивается и не имеет повторяющегося периода.

Классическими примерами иррациональных чисел являются $\pi$ (пи) и $\sqrt{2}$.

$\pi \approx 3.1415926535...$

$\sqrt{2} \approx 1.4142135623...$

Можно также сконструировать пример самостоятельно. Создадим число, десятичная запись которого следует определенному правилу, но не имеет периода. Например, запишем последовательно единицы, разделяя их увеличивающимся количеством нулей:

$0.101001000100001...$

В этой дроби количество нулей между единицами постоянно растет, поэтому никакой блок цифр не может периодически повторяться. Следовательно, это число является иррациональным.

Ответ: $0.1010010001...$