Номер 2, страница 73 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 4. Действительные числа. Глава 2. Квадратные корни - номер 2, страница 73.

2 Какие действительные числа можно и какие нельзя представить в виде отношения целого числа к натуральному?

Какие действительные числа можно представить в виде отношения целого числа к натуральному?
Действительные числа, которые можно представить в виде отношения целого числа к натуральному, называются рациональными числами. По определению, любое рациональное число $r$ может быть записано в виде дроби $r = \frac{p}{q}$, где $p$ — целое число ($p \in \mathbb{Z}$), а $q$ — натуральное число ($q \in \mathbb{N}$).

К рациональным числам относятся:

• Все целые числа. Например, число 5 можно представить как $\frac{5}{1}$, а число -12 как $\frac{-12}{1}$.
• Все конечные десятичные дроби. Например, 0,75 можно представить как $\frac{75}{100}$ или, после сокращения, как $\frac{3}{4}$. Число -1,8 можно представить как $\frac{-18}{10}$ или $\frac{-9}{5}$.
• Все бесконечные периодические десятичные дроби. Например, число $0,333...$ (или $0,(3)$) равно дроби $\frac{1}{3}$. Число $0,1(6)$ равно $\frac{1}{6}$.

Таким образом, любое число, чья десятичная запись либо конечна, либо бесконечна, но периодична, является рациональным и может быть представлено в виде искомого отношения.
Ответ: Рациональные числа.

Какие действительные числа нельзя представить в виде отношения целого числа к натуральному?
Действительные числа, которые нельзя представить в виде отношения целого числа к натуральному, называются иррациональными числами.

Характерным свойством иррациональных чисел является то, что их десятичное представление является бесконечным и непериодическим. Это означает, что в их десятичной записи нет повторяющейся последовательности цифр.

Примерами иррациональных чисел являются:

• Число $\pi$ (пи), равное отношению длины окружности к её диаметру: $\pi \approx 3,1415926535...$
• Число $e$ (число Эйлера), основание натурального логарифма: $e \approx 2,7182818284...$
• Корни из чисел, не являющихся точными квадратами (кубами и т.д.). Например, $\sqrt{2} \approx 1,41421356...$ или $\sqrt{3} \approx 1,7320508...$

Доказано, что такие числа невозможно записать в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p \in \mathbb{Z}$ и $q \in \mathbb{N}$.
Ответ: Иррациональные числа.