Номер 297, страница 73 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

11. Иррациональные числа. § 4. Действительные числа. Глава 2. Квадратные корни - номер 297, страница 73.

297. При каких значениях $a$ и $b$ графики функций $y = x + b$ и $y = ax - 2b$ пересекаются в точке (3; 1)?

По условию задачи, графики функций $y = x + b$ и $y = ax - 2b$ пересекаются в точке с координатами (3; 1). Это означает, что если подставить значения $x = 3$ и $y = 1$ в каждое из уравнений, то оба равенства будут верными. Это позволяет нам составить систему уравнений относительно неизвестных параметров $a$ и $b$.

Подставим координаты точки $(3; 1)$ в первое уравнение $y = x + b$:
$1 = 3 + b$
Из этого уравнения можно сразу выразить и найти значение $b$:
$b = 1 - 3$
$b = -2$

Теперь подставим координаты точки $(3; 1)$ во второе уравнение $y = ax - 2b$:
$1 = a \cdot 3 - 2b$
$1 = 3a - 2b$

Мы получили систему уравнений, которую нужно решить:

$\begin{cases} 1 = 3 + b \\ 1 = 3a - 2b \end{cases}$

Из первого уравнения мы уже нашли, что $b = -2$. Подставим это значение во второе уравнение системы, чтобы найти $a$:
$1 = 3a - 2(-2)$
$1 = 3a + 4$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $a$:
$3a = 1 - 4$
$3a = -3$
$a = \frac{-3}{3}$
$a = -1$

Таким образом, мы определили, что графики данных функций пересекаются в точке (3; 1) при значениях параметров $a = -1$ и $b = -2$.

Ответ: $a = -1, b = -2$.