Страница 75 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

299. Докажите, что:

a) $\sqrt{121} = 11$;

б) $\sqrt{169} = 13$;

в) $\sqrt{1,44} = 1,2$;

г) $\sqrt{0,49} = 0,7$.

а) По определению арифметического квадратного корня, равенство $\sqrt{a} = b$ является верным, если выполняются два условия: $b$ — неотрицательное число ($b \ge 0$) и его квадрат равен подкоренному числу ($b^2 = a$).
Проверим эти условия для равенства $\sqrt{121} = 11$:
1) $11 \ge 0$ (число 11 является неотрицательным).
2) $11^2 = 11 \times 11 = 121$.
Оба условия выполнены, следовательно, равенство $\sqrt{121} = 11$ верно.
Ответ: Доказано.

б) Для доказательства равенства $\sqrt{169} = 13$ необходимо проверить выполнение двух условий из определения арифметического квадратного корня:
1) $13 \ge 0$ (число 13 является неотрицательным).
2) $13^2 = 13 \times 13 = 169$.
Поскольку оба условия выполняются, равенство $\sqrt{169} = 13$ является верным.
Ответ: Доказано.

в) Докажем равенство $\sqrt{1,44} = 1,2$, проверив условия для арифметического квадратного корня:
1) $1,2 \ge 0$ (число 1,2 является неотрицательным).
2) $1,2^2 = 1,2 \times 1,2 = 1,44$.
Так как $1,2 \ge 0$ и $1,2^2 = 1,44$, равенство $\sqrt{1,44} = 1,2$ является истинным.
Ответ: Доказано.

г) Проверим, что равенство $\sqrt{0,49} = 0,7$ соответствует определению арифметического квадратного корня:
1) $0,7 \ge 0$ (число 0,7 является неотрицательным).
2) $0,7^2 = 0,7 \times 0,7 = 0,49$.
Оба условия соблюдены, следовательно, утверждение $\sqrt{0,49} = 0,7$ доказано.
Ответ: Доказано.

301. Вычислите:

а) $\sqrt{900}$;

б) $\sqrt{0,01}$;

в) $\sqrt{0,64}$;

г) $\sqrt{\frac{121}{64}}$;

д) $\sqrt{6\frac{1}{4}}$.

а) Чтобы вычислить $\sqrt{900}$, представим число 900 как произведение квадратов. Мы знаем, что $900 = 9 \cdot 100 = 3^2 \cdot 10^2 = (3 \cdot 10)^2 = 30^2$.
Таким образом, по определению квадратного корня:
$\sqrt{900} = \sqrt{30^2} = 30$.
Другой способ — использовать свойство корня из произведения $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$:
$\sqrt{900} = \sqrt{9 \cdot 100} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{100} = 3 \cdot 10 = 30$.
Ответ: 30.

б) Чтобы вычислить $\sqrt{0,01}$, представим десятичную дробь в виде обыкновенной:
$0,01 = \frac{1}{100}$.
Теперь воспользуемся свойством корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:
$\sqrt{0,01} = \sqrt{\frac{1}{100}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{100}} = \frac{1}{10} = 0,1$.
Проверка: $0,1^2 = 0,01$.
Ответ: 0,1.

в) Чтобы вычислить $\sqrt{0,64}$, представим десятичную дробь в виде обыкновенной:
$0,64 = \frac{64}{100}$.
Применяем свойство корня из дроби:
$\sqrt{0,64} = \sqrt{\frac{64}{100}} = \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{100}} = \frac{8}{10} = 0,8$.
Проверка: $0,8^2 = 0,64$.
Ответ: 0,8.

г) Для вычисления корня из дроби $\sqrt{\frac{121}{64}}$ воспользуемся свойством $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:
$\sqrt{\frac{121}{64}} = \frac{\sqrt{121}}{\sqrt{64}}$.
Так как $11^2 = 121$ и $8^2 = 64$, получаем:
$\frac{\sqrt{121}}{\sqrt{64}} = \frac{11}{8}$.
Эту неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа: $1\frac{3}{8}$.
Ответ: $\frac{11}{8}$.

д) Сначала преобразуем смешанное число $6\frac{1}{4}$ в неправильную дробь:
$6\frac{1}{4} = \frac{6 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{24 + 1}{4} = \frac{25}{4}$.
Теперь вычислим корень из полученной дроби, используя свойство корня из дроби:
$\sqrt{6\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}} = \frac{5}{2}$.
Преобразуем неправильную дробь в десятичную:
$\frac{5}{2} = 2,5$.
Ответ: 2,5.

303. Найдите значение выражения:

а) $\sqrt{x} + \sqrt{y}$ при $x = \frac{9}{25}$, $y = 0,36$;

б) $\sqrt{4 - 2a}$ при $a = 2$; $-22,5$.

а)

Чтобы найти значение выражения $\sqrt{x} + \sqrt{y}$ при $x = \frac{9}{25}$ и $y = 0,36$, необходимо подставить данные значения в выражение.
$\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{\frac{9}{25}} + \sqrt{0,36}$
Вычислим каждый корень по отдельности:
$\sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}} = \frac{3}{5}$
$\sqrt{0,36} = \sqrt{(0,6)^2} = 0,6$
Теперь необходимо сложить полученные значения. Для удобства вычислений преобразуем дробь $\frac{3}{5}$ в десятичную:
$\frac{3}{5} = 0,6$
Складываем результаты:
$0,6 + 0,6 = 1,2$
Ответ: $1,2$.

б)

Найдем значение выражения $\sqrt{4 - 2a}$ для каждого из заданных значений переменной $a$.

1. При $a = 2$:
Подставляем значение $a = 2$ в выражение:
$\sqrt{4 - 2 \cdot 2} = \sqrt{4 - 4} = \sqrt{0} = 0$

2. При $a = -22,5$:
Подставляем значение $a = -22,5$ в выражение:
$\sqrt{4 - 2 \cdot (-22,5)} = \sqrt{4 - (-45)} = \sqrt{4 + 45} = \sqrt{49} = 7$
Ответ: при $a = 2$ значение равно $0$; при $a = -22,5$ значение равно $7$.

298. Докажите, что число:

а) 5 есть арифметический квадратный корень из 25;

б) 0,3 есть арифметический квадратный корень из 0,09;

в) –7 не является арифметическим квадратным корнем из 49;

г) 0,6 не является арифметическим квадратным корнем из 3,6.

По определению, арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число $b$, квадрат которого равен $a$. То есть, $\sqrt{a} = b$ тогда и только тогда, когда выполняются два условия:
1. Число $b$ должно быть неотрицательным, то есть $b \ge 0$.
2. Квадрат числа $b$ должен быть равен $a$, то есть $b^2 = a$.
Проверим эти условия для каждого случая.

а) 5 есть арифметический квадратный корень из 25

Проверяем два условия для числа 5 по отношению к числу 25:
1. Число 5 неотрицательное: $5 \ge 0$. Условие выполняется.
2. Квадрат числа 5 равен 25: $5^2 = 25$. Условие выполняется.
Поскольку оба условия выполнены, 5 является арифметическим квадратным корнем из 25.
Ответ: Доказано.

б) 0,3 есть арифметический квадратный корень из 0,09

Проверяем два условия для числа 0,3 по отношению к числу 0,09:
1. Число 0,3 неотрицательное: $0,3 \ge 0$. Условие выполняется.
2. Квадрат числа 0,3 равен 0,09: $0,3^2 = 0,3 \times 0,3 = 0,09$. Условие выполняется.
Поскольку оба условия выполнены, 0,3 является арифметическим квадратным корнем из 0,09.
Ответ: Доказано.

в) –7 не является арифметическим квадратным корнем из 49

Проверяем первое условие определения для числа –7:
1. Арифметический квадратный корень должен быть неотрицательным числом. Число –7 является отрицательным: $–7 < 0$.
Так как первое, основное условие не выполняется, –7 не является арифметическим квадратным корнем из 49 (несмотря на то, что $(-7)^2 = 49$).
Ответ: Доказано.

г) 0,6 не является арифметическим квадратным корнем из 3,6

Проверяем два условия для числа 0,6 по отношению к числу 3,6:
1. Число 0,6 неотрицательное: $0,6 \ge 0$. Первое условие выполняется.
2. Проверяем, равен ли квадрат числа 0,6 числу 3,6: $0,6^2 = 0,36$.
Так как $0,36 \ne 3,6$, второе условие не выполняется. Следовательно, 0,6 не является арифметическим квадратным корнем из 3,6.
Ответ: Доказано.

300. Найдите значение корня:

а) $\sqrt{81}$;

б) $\sqrt{36}$;

в) $\sqrt{1600}$;

г) $\sqrt{10000}$;

д) $\sqrt{0.04}$;

е) $\sqrt{0.81}$;

ж) $\sqrt{\frac{81}{4}}$;

з) $\sqrt{1\frac{24}{25}}$.

а) Арифметическим квадратным корнем из числа $a$ называется неотрицательное число, квадрат которого равен $a$. Нам нужно найти такое неотрицательное число, которое при возведении в квадрат даст 81. Этим числом является 9, так как $9^2 = 9 \times 9 = 81$.
Следовательно, $\sqrt{81} = 9$.
Ответ: 9

б) Необходимо найти неотрицательное число, квадрат которого равен 36. Мы знаем из таблицы умножения, что $6 \times 6 = 36$.
Следовательно, $\sqrt{36} = 6$.
Ответ: 6

в) Чтобы найти корень из 1600, можно представить подкоренное выражение как произведение двух чисел, корни из которых легко извлекаются: $1600 = 16 \times 100$. Далее используем свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$:
$\sqrt{1600} = \sqrt{16 \times 100} = \sqrt{16} \times \sqrt{100} = 4 \times 10 = 40$.
Проверим: $40^2 = 1600$.
Ответ: 40

г) Для извлечения корня из 10000 можно заметить, что это число является степенью числа 100, а именно $100^2 = 100 \times 100 = 10000$.
Следовательно, $\sqrt{10000} = \sqrt{100^2} = 100$.
Ответ: 100

д) Для нахождения корня из десятичной дроби 0,04, представим ее в виде обыкновенной дроби: $0,04 = \frac{4}{100}$. Далее воспользуемся свойством корня из частного $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:
$\sqrt{0,04} = \sqrt{\frac{4}{100}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{100}} = \frac{2}{10} = 0,2$.
Проверим: $0,2^2 = 0,04$.
Ответ: 0,2

е) Аналогично предыдущему пункту, представим десятичную дробь 0,81 в виде обыкновенной дроби: $0,81 = \frac{81}{100}$.
$\sqrt{0,81} = \sqrt{\frac{81}{100}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{100}} = \frac{9}{10} = 0,9$.
Проверим: $0,9^2 = 0,81$.
Ответ: 0,9

ж) Чтобы найти корень из обыкновенной дроби, нужно извлечь корень из ее числителя и знаменателя по отдельности, используя свойство $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:
$\sqrt{\frac{81}{4}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{4}} = \frac{9}{2}$.
Переведем полученную неправильную дробь в десятичную: $\frac{9}{2} = 4,5$.
Ответ: 4,5

з) Сначала необходимо преобразовать смешанное число $1\frac{24}{25}$ в неправильную дробь:
$1\frac{24}{25} = \frac{1 \times 25 + 24}{25} = \frac{49}{25}$.
Теперь извлечем квадратный корень из полученной дроби:
$\sqrt{1\frac{24}{25}} = \sqrt{\frac{49}{25}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{25}} = \frac{7}{5}$.
Переведем результат в десятичную дробь: $\frac{7}{5} = 1,4$.
Ответ: 1,4

302. Найдите значение выражения:

а) $\sqrt{a+b}$ при $a=33; b=-8; a=0,65; b=0,16;$

б) $\sqrt{3x-5}$ при $x=23; 1,83;$

в) $x+\sqrt{x}$ при $x=0; 0,01; 0,36; 0,64; 1; 25; 100; 3600.$

а)

Для нахождения значения выражения $\sqrt{a+b}$ необходимо подставить в него заданные значения переменных $a$ и $b$.

При $a = 33$ и $b = -8$:
$\sqrt{a+b} = \sqrt{33 + (-8)} = \sqrt{33-8} = \sqrt{25} = 5$.

При $a = 0,65$ и $b = 0,16$:
$\sqrt{a+b} = \sqrt{0,65 + 0,16} = \sqrt{0,81} = 0,9$.

Ответ: $5$; $0,9$.

б)

Для нахождения значения выражения $\sqrt{3x-5}$ необходимо подставить в него заданные значения переменной $x$.

При $x = 23$:
$\sqrt{3x-5} = \sqrt{3 \cdot 23 - 5} = \sqrt{69 - 5} = \sqrt{64} = 8$.

При $x = 1,83$:
$\sqrt{3x-5} = \sqrt{3 \cdot 1,83 - 5} = \sqrt{5,49 - 5} = \sqrt{0,49} = 0,7$.

Ответ: $8$; $0,7$.

в)

Для нахождения значения выражения $x+\sqrt{x}$ необходимо поочередно подставить в него заданные значения переменной $x$.

При $x = 0$: $0 + \sqrt{0} = 0 + 0 = 0$.
При $x = 0,01$: $0,01 + \sqrt{0,01} = 0,01 + 0,1 = 0,11$.
При $x = 0,36$: $0,36 + \sqrt{0,36} = 0,36 + 0,6 = 0,96$.
При $x = 0,64$: $0,64 + \sqrt{0,64} = 0,64 + 0,8 = 1,44$.
При $x = 1$: $1 + \sqrt{1} = 1 + 1 = 2$.
При $x = 25$: $25 + \sqrt{25} = 25 + 5 = 30$.
При $x = 100$: $100 + \sqrt{100} = 100 + 10 = 110$.
При $x = 3600$: $3600 + \sqrt{3600} = 3600 + 60 = 3660$.

Ответ: $0$; $0,11$; $0,96$; $1,44$; $2$; $30$; $110$; $3660$.