Страница 76 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

305. Найдите значение выражения:

а) $0,6\sqrt{36}$;

б) $-2,5\sqrt{25}$;

в) $\sqrt{0,49} + \sqrt{0,16}$;

г) $\sqrt{0,64} - \sqrt{0,04}$;

д) $-\sqrt{0,0036} + \sqrt{0,0025}$;

е) $\sqrt{0,01} - \sqrt{0,0001}$;

ж) $\frac{1}{3}\sqrt{0,81} - 1$;

з) $4 - 10\sqrt{0,01}$.

а) Чтобы найти значение выражения $0,6\sqrt{36}$, сначала вычислим квадратный корень из 36.
$\sqrt{36} = 6$.
Теперь умножим полученное значение на 0,6:
$0,6 \cdot 6 = 3,6$.
Следовательно, $0,6\sqrt{36} = 3,6$.
Ответ: 3,6

б) Для выражения $-2,5\sqrt{25}$ сначала найдем значение квадратного корня.
$\sqrt{25} = 5$.
Затем умножим результат на -2,5:
$-2,5 \cdot 5 = -12,5$.
Таким образом, $-2,5\sqrt{25} = -12,5$.
Ответ: -12,5

в) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{0,49} + \sqrt{0,16}$, вычислим каждый квадратный корень по отдельности.
$\sqrt{0,49} = \sqrt{(0,7)^2} = 0,7$.
$\sqrt{0,16} = \sqrt{(0,4)^2} = 0,4$.
Теперь сложим полученные значения:
$0,7 + 0,4 = 1,1$.
Ответ: 1,1

г) Для выражения $\sqrt{0,64} - \sqrt{0,04}$ вычислим значения квадратных корней.
$\sqrt{0,64} = \sqrt{(0,8)^2} = 0,8$.
$\sqrt{0,04} = \sqrt{(0,2)^2} = 0,2$.
Теперь выполним вычитание:
$0,8 - 0,2 = 0,6$.
Ответ: 0,6

д) В выражении $-\sqrt{0,0036} + \sqrt{0,0025}$ сначала найдем значения корней.
$\sqrt{0,0036} = \sqrt{(0,06)^2} = 0,06$.
$\sqrt{0,0025} = \sqrt{(0,05)^2} = 0,05$.
Подставим значения в исходное выражение:
$-\sqrt{0,0036} + \sqrt{0,0025} = -0,06 + 0,05 = -0,01$.
Ответ: -0,01

е) В выражении $\sqrt{0,01} - \sqrt{0,0001}$ вычислим значения корней.
$\sqrt{0,01} = \sqrt{(0,1)^2} = 0,1$.
$\sqrt{0,0001} = \sqrt{(0,01)^2} = 0,01$.
Выполним вычитание:
$0,1 - 0,01 = 0,09$.
Ответ: 0,09

ж) Чтобы найти значение выражения $\frac{1}{3}\sqrt{0,81} - 1$, начнем с вычисления корня.
$\sqrt{0,81} = \sqrt{(0,9)^2} = 0,9$.
Далее умножим результат на $\frac{1}{3}$:
$\frac{1}{3} \cdot 0,9 = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{10} = \frac{9}{30} = \frac{3}{10} = 0,3$.
Наконец, вычтем 1:
$0,3 - 1 = -0,7$.
Ответ: -0,7

з) Для выражения $4 - 10\sqrt{0,01}$ сначала вычислим корень.
$\sqrt{0,01} = \sqrt{(0,1)^2} = 0,1$.
Затем умножим результат на 10:
$10 \cdot 0,1 = 1$.
Теперь вычтем полученное значение из 4:
$4 - 1 = 3$.
Ответ: 3

307. Приведите контрпример для утверждения:

а) при любом натуральном значении $n$ значение выражения $\sqrt{11 - n}$ является иррациональным числом;

б) при любом натуральном значении $n$ значение выражения $\sqrt{25 - n}$ является иррациональным числом.

а) Утверждение гласит, что для любого натурального значения $n$ значение выражения $\sqrt{11-n}$ является иррациональным числом. Чтобы опровергнуть это утверждение, достаточно найти хотя бы один контрпример, то есть такое натуральное число $n$, при котором значение выражения будет рациональным.

Значение квадратного корня из целого числа является рациональным тогда и только тогда, когда подкоренное выражение является точным квадратом целого числа (например, 0, 1, 4, 9, 16, ...). Также, выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть $11-n \geq 0$, что означает $n \leq 11$.

Наша задача — найти такое натуральное число $n$ (т.е. $n \in \{1, 2, 3, ..., 11\}$), чтобы выражение $11-n$ было полным квадратом. Переберем возможные варианты полных квадратов, которые меньше или равны 11: 0, 1, 4, 9.

• Если $11-n = 9$, то $n = 11 - 9 = 2$.
• Если $11-n = 4$, то $n = 11 - 4 = 7$.
• Если $11-n = 1$, то $n = 11 - 1 = 10$.
• Если $11-n = 0$, то $n = 11 - 0 = 11$.

Возьмем любой из найденных вариантов, например, $n=2$. Это натуральное число. Подставим его в исходное выражение:

$\sqrt{11-2} = \sqrt{9} = 3$

Число 3 является рациональным (так как его можно представить в виде дроби $\frac{3}{1}$). Следовательно, мы нашли контрпример, опровергающий исходное утверждение.

Ответ: $n=2$ (также подходят $n=7$, $n=10$, $n=11$).

б) Утверждение гласит, что для любого натурального значения $n$ значение выражения $\sqrt{25-n}$ является иррациональным числом. Аналогично пункту а), найдем контрпример — такое натуральное число $n$, при котором значение выражения будет рациональным.

Для этого подкоренное выражение $25-n$ должно быть полным квадратом. Условие неотрицательности подкоренного выражения: $25-n \geq 0$, то есть $n \leq 25$.

Будем искать натуральное число $n$ ($n \in \{1, 2, 3, ..., 25\}$) такое, что $25-n$ является полным квадратом. Полные квадраты, не превосходящие 25: 0, 1, 4, 9, 16, 25.

• Если $25-n = 16$, то $n = 25 - 16 = 9$.
• Если $25-n = 9$, то $n = 25 - 9 = 16$.
• Если $25-n = 4$, то $n = 25 - 4 = 21$.
• Если $25-n = 1$, то $n = 25 - 1 = 24$.
• Если $25-n = 0$, то $n = 25 - 0 = 25$.

Выберем один из вариантов, например, $n=9$. Это натуральное число. Подставим его в исходное выражение:

$\sqrt{25-9} = \sqrt{16} = 4$

Число 4 является рациональным (так как $4 = \frac{4}{1}$). Это доказывает, что исходное утверждение ложно.

Ответ: $n=9$ (также подходят $n=16$, $n=21$, $n=24$, $n=25$).

309. Имеет ли смысл выражение:

а) $ \sqrt{100} $;

б) $ \sqrt{-100} $;

в) $ -\sqrt{100} $;

г) $ \sqrt{(-10)^2} $;

д) $ \sqrt{(-25) \cdot (-4)} $;

е) $ \sqrt{-25 \cdot 4} $?

а) Выражение $\sqrt{100}$ имеет смысл, так как подкоренное выражение (число под знаком квадратного корня) является неотрицательным числом. $100 \ge 0$.
Более того, мы можем вычислить его значение: $\sqrt{100} = 10$.
Ответ: Да, имеет смысл.

б) Выражение $\sqrt{-100}$ не имеет смысла в области действительных чисел, так как подкоренное выражение является отрицательным числом ($-100 < 0$). Квадратный корень из отрицательного числа в множестве действительных чисел не определен, поскольку не существует действительного числа, квадрат которого был бы отрицательным.
Ответ: Нет, не имеет смысла.

в) Выражение $-\sqrt{100}$ имеет смысл. Знак минус стоит перед знаком корня, а не под ним. Сначала вычисляется значение корня: $\sqrt{100} = 10$. Затем к результату применяется знак минус.
$-\sqrt{100} = -10$.
Ответ: Да, имеет смысл.

г) Выражение $\sqrt{(-10)^2}$ имеет смысл. Сначала необходимо вычислить значение подкоренного выражения:
$(-10)^2 = (-10) \cdot (-10) = 100$.
Так как $100 \ge 0$, извлечение корня возможно: $\sqrt{100} = 10$.
Ответ: Да, имеет смысл.

д) Выражение $\sqrt{(-25) \cdot (-4)}$ имеет смысл. Сначала вычислим значение подкоренного выражения:
$(-25) \cdot (-4) = 100$.
Поскольку подкоренное выражение $100$ неотрицательно, извлечение корня возможно: $\sqrt{100} = 10$.
Ответ: Да, имеет смысл.

е) Выражение $\sqrt{-25 \cdot 4}$ не имеет смысла. Вычислим значение подкоренного выражения:
$-25 \cdot 4 = -100$.
Подкоренное выражение является отрицательным числом ($-100 < 0$), поэтому в области действительных чисел данное выражение не определено.
Ответ: Нет, не имеет смысла.

311. Найдите значение переменной x, при котором:

а) $\sqrt{x} = 4;$

б) $\sqrt{x} = 0,5;$

в) $2\sqrt{x} = 0;$

г) $4\sqrt{x} = 1;$

д) $\sqrt{x} - 8 = 0;$

е) $3\sqrt{x} - 2 = 0.$

а) Чтобы найти значение переменной $x$ в уравнении $\sqrt{x}=4$, необходимо возвести в квадрат обе части уравнения, так как возведение в квадрат является операцией, обратной извлечению квадратного корня.

$(\sqrt{x})^2 = 4^2$

$x = 16$

Проверка: $\sqrt{16}=4$, что является верным равенством.

Ответ: $16$.

б) Для решения уравнения $\sqrt{x} = 0,5$ возведем обе его части в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = (0,5)^2$

$x = 0,25$

Проверка: $\sqrt{0,25}=0,5$, равенство верно.

Ответ: $0,25$.

в) В уравнении $2\sqrt{x} = 0$ сначала выразим $\sqrt{x}$. Для этого разделим обе части уравнения на 2:

$\sqrt{x} = \frac{0}{2}$

$\sqrt{x} = 0$

Теперь возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = 0^2$

$x = 0$

Проверка: $2\sqrt{0} = 2 \cdot 0 = 0$, равенство верно.

Ответ: $0$.

г) В уравнении $4\sqrt{x} = 1$ сначала изолируем радикал, разделив обе части на 4:

$\sqrt{x} = \frac{1}{4}$

Далее возводим обе части в квадрат, чтобы найти $x$:

$(\sqrt{x})^2 = (\frac{1}{4})^2$

$x = \frac{1^2}{4^2} = \frac{1}{16}$

Проверка: $4\sqrt{\frac{1}{16}} = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1$, равенство верно.

Ответ: $\frac{1}{16}$.

д) Для решения уравнения $\sqrt{x} - 8 = 0$ сначала перенесем член $-8$ в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$\sqrt{x} = 8$

Теперь, чтобы найти $x$, возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = 8^2$

$x = 64$

Проверка: $\sqrt{64} - 8 = 8 - 8 = 0$, равенство верно.

Ответ: $64$.

е) В уравнении $3\sqrt{x} - 2 = 0$ сначала изолируем слагаемое с корнем. Перенесем $-2$ в правую часть:

$3\sqrt{x} = 2$

Теперь разделим обе части на 3:

$\sqrt{x} = \frac{2}{3}$

Наконец, возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = (\frac{2}{3})^2$

$x = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$

Проверка: $3\sqrt{\frac{4}{9}} - 2 = 3 \cdot \frac{2}{3} - 2 = 2 - 2 = 0$, равенство верно.

Ответ: $\frac{4}{9}$.

304. Найдите значение выражения:

а) $\sqrt{0,09} + \sqrt{0,25}$;

б) $\sqrt{0,04} - \sqrt{0,01}$;

в) $3\sqrt{9} - 16$;

г) $-7\sqrt{0,36} + 5,4$;

д) $0,1\sqrt{400} + 0,2\sqrt{1600}$;

е) $\frac{1}{3}\sqrt{0,36} + \frac{1}{5}\sqrt{900}$.

а) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{0,09} + \sqrt{0,25}$, необходимо сначала извлечь квадратные корни из чисел $0,09$ и $0,25$. Знаем, что $0,3^2 = 0,09$, поэтому $\sqrt{0,09} = 0,3$. Также знаем, что $0,5^2 = 0,25$, поэтому $\sqrt{0,25} = 0,5$. Теперь подставим найденные значения в исходное выражение и выполним сложение: $0,3 + 0,5 = 0,8$. Ответ: 0,8.

б) Для вычисления выражения $\sqrt{0,04} - \sqrt{0,01}$ сначала находим значения корней. Квадратный корень из $0,04$ равен $0,2$, так как $0,2^2 = 0,04$. Квадратный корень из $0,01$ равен $0,1$, так как $0,1^2 = 0,01$. Затем выполняем вычитание: $0,2 - 0,1 = 0,1$. Ответ: 0,1.

в) В выражении $3\sqrt{9} - 16$ сначала вычисляем значение квадратного корня, а затем выполняем остальные действия в соответствии с их приоритетом. Квадратный корень из $9$ равен $3$. Подставляем это значение в выражение: $3 \times 3 - 16$. Далее выполняем умножение: $3 \times 3 = 9$. И в конце выполняем вычитание: $9 - 16 = -7$. Ответ: -7.

г) Чтобы найти значение выражения $-7\sqrt{0,36} + 5,4$, первым делом извлекаем квадратный корень: $\sqrt{0,36} = 0,6$. Далее подставляем это значение в выражение: $-7 \times 0,6 + 5,4$. Выполняем умножение: $-7 \times 0,6 = -4,2$. Наконец, выполняем сложение: $-4,2 + 5,4 = 1,2$. Ответ: 1,2.

д) В выражении $0,1\sqrt{400} + 0,2\sqrt{1600}$ сначала вычислим значения корней. $\sqrt{400} = 20$, так как $20^2 = 400$. $\sqrt{1600} = 40$, так как $40^2 = 1600$. Теперь подставим эти значения в выражение: $0,1 \times 20 + 0,2 \times 40$. Выполним операции умножения: $0,1 \times 20 = 2$ и $0,2 \times 40 = 8$. В конце сложим полученные числа: $2 + 8 = 10$. Ответ: 10.

е) Рассмотрим выражение $\frac{1}{3}\sqrt{0,36} + \frac{1}{5}\sqrt{900}$. Сначала найдем значения квадратных корней: $\sqrt{0,36} = 0,6$ и $\sqrt{900} = 30$. Подставим их в выражение: $\frac{1}{3} \times 0,6 + \frac{1}{5} \times 30$. Теперь вычислим каждое слагаемое отдельно. Первое слагаемое: $\frac{1}{3} \times 0,6 = 0,2$. Второе слагаемое: $\frac{1}{5} \times 30 = 6$. Сложим полученные результаты: $0,2 + 6 = 6,2$. Ответ: 6,2.

306. Пользуясь таблицей квадратов натуральных чисел, найдите:

а) $\sqrt{225}$, $\sqrt{169}$, $\sqrt{324}$, $\sqrt{361}$;

б) $\sqrt{1,44}$, $\sqrt{3,24}$, $\sqrt{2,56}$, $\sqrt{2,25}$;

в) $\sqrt{576}$, $\sqrt{1764}$, $\sqrt{3721}$, $\sqrt{7396}$;

г) $\sqrt{7,29}$, $\sqrt{13,69}$, $\sqrt{56,25}$, $\sqrt{77,44}$.

а) Для нахождения значений квадратных корней воспользуемся таблицей квадратов натуральных чисел или методом подбора.

$\sqrt{225}$: Ищем в таблице квадратов число 225. Находим, что $15^2 = 225$. Следовательно, $\sqrt{225} = 15$.
$\sqrt{169}$: Ищем в таблице квадратов число 169. Находим, что $13^2 = 169$. Следовательно, $\sqrt{169} = 13$.
$\sqrt{324}$: Ищем в таблице квадратов число 324. Находим, что $18^2 = 324$. Следовательно, $\sqrt{324} = 18$.
$\sqrt{361}$: Ищем в таблице квадратов число 361. Находим, что $19^2 = 361$. Следовательно, $\sqrt{361} = 19$.
Ответ: 15; 13; 18; 19.

б) Для нахождения корней из десятичных дробей воспользуемся свойством $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ и результатами из таблицы квадратов.

$\sqrt{1,44} = \sqrt{\frac{144}{100}} = \frac{\sqrt{144}}{\sqrt{100}} = \frac{12}{10} = 1,2$.
$\sqrt{3,24} = \sqrt{\frac{324}{100}} = \frac{\sqrt{324}}{\sqrt{100}} = \frac{18}{10} = 1,8$.
$\sqrt{2,56} = \sqrt{\frac{256}{100}} = \frac{\sqrt{256}}{\sqrt{100}}$. Из таблицы квадратов $16^2 = 256$, поэтому $\frac{16}{10} = 1,6$.
$\sqrt{2,25} = \sqrt{\frac{225}{100}} = \frac{\sqrt{225}}{\sqrt{100}} = \frac{15}{10} = 1,5$.
Ответ: 1,2; 1,8; 1,6; 1,5.

в) Для нахождения корней из данных чисел используем таблицу квадратов. Если число большое, можно оценить его корень.

$\sqrt{576}$: В таблице квадратов находим, что $24^2 = 576$. Значит, $\sqrt{576} = 24$.
$\sqrt{1764}$: Оценим корень: $40^2 = 1600$, $50^2 = 2500$. Корень находится между 40 и 50. Так как число 1764 оканчивается на 4, его корень должен оканчиваться на 2 или 8. Проверяем 42: $42^2 = 1764$. Значит, $\sqrt{1764} = 42$.
$\sqrt{3721}$: Оценим корень: $60^2 = 3600$, $70^2 = 4900$. Корень находится между 60 и 70. Так как число 3721 оканчивается на 1, его корень должен оканчиваться на 1 или 9. Проверяем 61: $61^2 = 3721$. Значит, $\sqrt{3721} = 61$.
$\sqrt{7396}$: Оценим корень: $80^2 = 6400$, $90^2 = 8100$. Корень находится между 80 и 90. Так как число 7396 оканчивается на 6, его корень должен оканчиваться на 4 или 6. Проверяем 86: $86^2 = 7396$. Значит, $\sqrt{7396} = 86$.
Ответ: 24; 42; 61; 86.

г) Решаем аналогично пункту б), представляя десятичные дроби в виде обыкновенных и используя таблицу квадратов.

$\sqrt{7,29} = \sqrt{\frac{729}{100}} = \frac{\sqrt{729}}{\sqrt{100}}$. Из таблицы квадратов $27^2 = 729$, поэтому $\frac{27}{10} = 2,7$.
$\sqrt{13,69} = \sqrt{\frac{1369}{100}} = \frac{\sqrt{1369}}{\sqrt{100}}$. Из таблицы квадратов $37^2 = 1369$, поэтому $\frac{37}{10} = 3,7$.
$\sqrt{56,25} = \sqrt{\frac{5625}{100}} = \frac{\sqrt{5625}}{\sqrt{100}}$. Из таблицы квадратов $75^2 = 5625$, поэтому $\frac{75}{10} = 7,5$.
$\sqrt{77,44} = \sqrt{\frac{7744}{100}} = \frac{\sqrt{7744}}{\sqrt{100}}$. Из таблицы квадратов $88^2 = 7744$, поэтому $\frac{88}{10} = 8,8$.
Ответ: 2,7; 3,7; 7,5; 8,8.

308. Какая из точек — А или В — координатной прямой ближе к точке с координатой нуль, если:

a) $A(\sqrt{15,21})$, $B(-\sqrt{16})$;

б) $A\left(\sqrt{2\frac{7}{9}}\right)$, $B\left(-\sqrt{1\frac{13}{36}}\right)$?

Чтобы определить, какая из точек ближе к точке с координатой нуль, необходимо сравнить абсолютные значения (модули) координат этих точек. Чем меньше модуль координаты, тем ближе точка к нулю.

а) $A(\sqrt{15,21})$, $B(-\sqrt{16})$

1. Найдем расстояние от точки A до нуля. Это модуль её координаты:

$|\sqrt{15,21}| = \sqrt{15,21}$

Вычислим значение корня: $\sqrt{15,21} = \sqrt{\frac{1521}{100}} = \frac{\sqrt{1521}}{\sqrt{100}} = \frac{39}{10} = 3,9$.

2. Найдем расстояние от точки B до нуля:

$|-\sqrt{16}| = \sqrt{16} = 4$.

3. Сравним полученные расстояния:

$3,9 < 4$.

Поскольку расстояние от точки A до нуля меньше, чем от точки B, точка A находится ближе к нулю.

Ответ: точка A.

б) $A\left(\sqrt{2\frac{7}{9}}\right)$, $B\left(-\sqrt{1\frac{13}{36}}\right)$

1. Найдем расстояние от точки A до нуля:

$\left|\sqrt{2\frac{7}{9}}\right| = \sqrt{2\frac{7}{9}}$

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь и вычислим корень:

$\sqrt{2\frac{7}{9}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 9 + 7}{9}} = \sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{5}{3}$.

2. Найдем расстояние от точки B до нуля:

$\left|-\sqrt{1\frac{13}{36}}\right| = \sqrt{1\frac{13}{36}}$

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь и вычислим корень:

$\sqrt{1\frac{13}{36}} = \sqrt{\frac{1 \cdot 36 + 13}{36}} = \sqrt{\frac{49}{36}} = \frac{7}{6}$.

3. Сравним полученные расстояния $\frac{5}{3}$ и $\frac{7}{6}$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{10}{6}$.

Теперь сравним дроби $\frac{10}{6}$ и $\frac{7}{6}$. Так как $10 > 7$, то $\frac{10}{6} > \frac{7}{6}$.

Следовательно, $|\sqrt{2\frac{7}{9}}| > |-\sqrt{1\frac{13}{36}}|$.

Поскольку расстояние от точки B до нуля меньше, чем от точки A, точка B находится ближе к нулю.

Ответ: точка B.

310. Найдите число, арифметический квадратный корень из которого равен

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $x$ называется такое неотрицательное число $a$, квадрат которого равен $x$. Это можно записать в виде формулы: $\sqrt{x} = a$. Чтобы найти число $x$, зная его арифметический квадратный корень $a$, необходимо возвести значение корня $a$ в квадрат: $x = a^2$.

0
По условию, арифметический квадратный корень из искомого числа $x$ равен 0.
Запишем это в виде уравнения:
$\sqrt{x} = 0$
Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в квадрат:
$x = 0^2 = 0$
Ответ: 0

1
По условию, арифметический квадратный корень из искомого числа $x$ равен 1.
Запишем это в виде уравнения:
$\sqrt{x} = 1$
Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в квадрат:
$x = 1^2 = 1$
Ответ: 1

3
По условию, арифметический квадратный корень из искомого числа $x$ равен 3.
Запишем это в виде уравнения:
$\sqrt{x} = 3$
Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в квадрат:
$x = 3^2 = 9$
Ответ: 9

10
По условию, арифметический квадратный корень из искомого числа $x$ равен 10.
Запишем это в виде уравнения:
$\sqrt{x} = 10$
Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в квадрат:
$x = 10^2 = 100$
Ответ: 100

0,6
По условию, арифметический квадратный корень из искомого числа $x$ равен 0,6.
Запишем это в виде уравнения:
$\sqrt{x} = 0.6$
Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в квадрат:
$x = (0.6)^2 = 0.36$
Ответ: 0,36

312. Существует ли значение переменной $x$, при котором:

а) $\sqrt{x} = 0,1;$

б) $\sqrt{x} = -10;$

в) $\sqrt{x} + 1 = 0;$

г) $\sqrt{x} - 3 = 0?$

а) Да, существует. Чтобы найти значение переменной $x$, при котором выполняется равенство $\sqrt{x} = 0,1$, необходимо возвести обе части уравнения в квадрат. Это допустимо, так как правая часть уравнения (0,1) является неотрицательным числом.

Возводим обе части в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = (0,1)^2$

$x = 0,01$

Поскольку $x = 0,01$ — неотрицательное число, оно входит в область определения функции квадратного корня. Проверка: $\sqrt{0,01} = 0,1$. Равенство верно.

Ответ: да, существует, $x = 0,01$.

б) Нет, не существует. Рассмотрим уравнение $\sqrt{x} = -10$.

По определению, арифметический квадратный корень из числа (обозначается как $\sqrt{x}$) — это неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному выражению.

В данном уравнении значение арифметического квадратного корня приравнивается к отрицательному числу (-10), что противоречит его определению. Таким образом, уравнение не имеет решений в области действительных чисел.

Ответ: нет, не существует.

в) Да, существует. Рассмотрим уравнение $\sqrt{x+1} = 0$.

Чтобы решить это уравнение, возведем обе его части в квадрат:

$(\sqrt{x+1})^2 = 0^2$

$x+1 = 0$

Теперь найдем $x$:

$x = -1$

Выполним проверку: подставим найденное значение $x$ в исходное уравнение. Подкоренное выражение $x+1$ при $x=-1$ равно $-1+1=0$. Так как $0 \ge 0$, значение является допустимым. Равенство $\sqrt{0}=0$ является верным.

Ответ: да, существует, $x = -1$.

г) Да, существует. Рассмотрим уравнение $\sqrt{x-3} = 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:

$(\sqrt{x-3})^2 = 0^2$

$x-3 = 0$

Решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$x = 3$

Проверим, является ли найденное значение $x$ решением. При $x=3$ подкоренное выражение $x-3$ равно $3-3=0$. Значение $0$ является допустимым для подкоренного выражения. Равенство $\sqrt{0}=0$ верно.

Ответ: да, существует, $x = 3$.