Номер 307, страница 76 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень. § 5. Арифметический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 307, страница 76.

307. Приведите контрпример для утверждения:

а) при любом натуральном значении $n$ значение выражения $\sqrt{11 - n}$ является иррациональным числом;

б) при любом натуральном значении $n$ значение выражения $\sqrt{25 - n}$ является иррациональным числом.

а) Утверждение гласит, что для любого натурального значения $n$ значение выражения $\sqrt{11-n}$ является иррациональным числом. Чтобы опровергнуть это утверждение, достаточно найти хотя бы один контрпример, то есть такое натуральное число $n$, при котором значение выражения будет рациональным.

Значение квадратного корня из целого числа является рациональным тогда и только тогда, когда подкоренное выражение является точным квадратом целого числа (например, 0, 1, 4, 9, 16, ...). Также, выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть $11-n \geq 0$, что означает $n \leq 11$.

Наша задача — найти такое натуральное число $n$ (т.е. $n \in \{1, 2, 3, ..., 11\}$), чтобы выражение $11-n$ было полным квадратом. Переберем возможные варианты полных квадратов, которые меньше или равны 11: 0, 1, 4, 9.

• Если $11-n = 9$, то $n = 11 - 9 = 2$.
• Если $11-n = 4$, то $n = 11 - 4 = 7$.
• Если $11-n = 1$, то $n = 11 - 1 = 10$.
• Если $11-n = 0$, то $n = 11 - 0 = 11$.

Возьмем любой из найденных вариантов, например, $n=2$. Это натуральное число. Подставим его в исходное выражение:

$\sqrt{11-2} = \sqrt{9} = 3$

Число 3 является рациональным (так как его можно представить в виде дроби $\frac{3}{1}$). Следовательно, мы нашли контрпример, опровергающий исходное утверждение.

Ответ: $n=2$ (также подходят $n=7$, $n=10$, $n=11$).

б) Утверждение гласит, что для любого натурального значения $n$ значение выражения $\sqrt{25-n}$ является иррациональным числом. Аналогично пункту а), найдем контрпример — такое натуральное число $n$, при котором значение выражения будет рациональным.

Для этого подкоренное выражение $25-n$ должно быть полным квадратом. Условие неотрицательности подкоренного выражения: $25-n \geq 0$, то есть $n \leq 25$.

Будем искать натуральное число $n$ ($n \in \{1, 2, 3, ..., 25\}$) такое, что $25-n$ является полным квадратом. Полные квадраты, не превосходящие 25: 0, 1, 4, 9, 16, 25.

• Если $25-n = 16$, то $n = 25 - 16 = 9$.
• Если $25-n = 9$, то $n = 25 - 9 = 16$.
• Если $25-n = 4$, то $n = 25 - 4 = 21$.
• Если $25-n = 1$, то $n = 25 - 1 = 24$.
• Если $25-n = 0$, то $n = 25 - 0 = 25$.

Выберем один из вариантов, например, $n=9$. Это натуральное число. Подставим его в исходное выражение:

$\sqrt{25-9} = \sqrt{16} = 4$

Число 4 является рациональным (так как $4 = \frac{4}{1}$). Это доказывает, что исходное утверждение ложно.

Ответ: $n=9$ (также подходят $n=16$, $n=21$, $n=24$, $n=25$).