Номер 312, страница 76 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень. § 5. Арифметический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 312, страница 76.

312. Существует ли значение переменной $x$, при котором:

а) $\sqrt{x} = 0,1;$

б) $\sqrt{x} = -10;$

в) $\sqrt{x} + 1 = 0;$

г) $\sqrt{x} - 3 = 0?$

а) Да, существует. Чтобы найти значение переменной $x$, при котором выполняется равенство $\sqrt{x} = 0,1$, необходимо возвести обе части уравнения в квадрат. Это допустимо, так как правая часть уравнения (0,1) является неотрицательным числом.

Возводим обе части в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = (0,1)^2$

$x = 0,01$

Поскольку $x = 0,01$ — неотрицательное число, оно входит в область определения функции квадратного корня. Проверка: $\sqrt{0,01} = 0,1$. Равенство верно.

Ответ: да, существует, $x = 0,01$.

б) Нет, не существует. Рассмотрим уравнение $\sqrt{x} = -10$.

По определению, арифметический квадратный корень из числа (обозначается как $\sqrt{x}$) — это неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному выражению.

В данном уравнении значение арифметического квадратного корня приравнивается к отрицательному числу (-10), что противоречит его определению. Таким образом, уравнение не имеет решений в области действительных чисел.

Ответ: нет, не существует.

в) Да, существует. Рассмотрим уравнение $\sqrt{x+1} = 0$.

Чтобы решить это уравнение, возведем обе его части в квадрат:

$(\sqrt{x+1})^2 = 0^2$

$x+1 = 0$

Теперь найдем $x$:

$x = -1$

Выполним проверку: подставим найденное значение $x$ в исходное уравнение. Подкоренное выражение $x+1$ при $x=-1$ равно $-1+1=0$. Так как $0 \ge 0$, значение является допустимым. Равенство $\sqrt{0}=0$ является верным.

Ответ: да, существует, $x = -1$.

г) Да, существует. Рассмотрим уравнение $\sqrt{x-3} = 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:

$(\sqrt{x-3})^2 = 0^2$

$x-3 = 0$

Решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$x = 3$

Проверим, является ли найденное значение $x$ решением. При $x=3$ подкоренное выражение $x-3$ равно $3-3=0$. Значение $0$ является допустимым для подкоренного выражения. Равенство $\sqrt{0}=0$ верно.

Ответ: да, существует, $x = 3$.