Номер 315, страница 77 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень. § 5. Арифметический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 315, страница 77.

315. Решите уравнение:

а) $\sqrt{3x-1}=1$;

б) $\sqrt{6x+4}=2$;

в) $\sqrt{12-x}=6$;

г) $\sqrt{8x-1}=1$.

а) Дано уравнение $\sqrt{3x - 1} = 1$.
Чтобы избавиться от знака корня, возведем обе части уравнения в квадрат. Это преобразование является равносильным, так как правая часть уравнения ($1$) — неотрицательное число.
$(\sqrt{3x - 1})^2 = 1^2$
$3x - 1 = 1$
Перенесем $-1$ в правую часть уравнения, изменив знак:
$3x = 1 + 1$
$3x = 2$
$x = \frac{2}{3}$
Выполним проверку, чтобы убедиться, что подкоренное выражение не является отрицательным при найденном значении $x$ (проверка ОДЗ: $3x - 1 \ge 0$):
$3 \cdot \frac{2}{3} - 1 = 2 - 1 = 1$. Так как $1 \ge 0$, корень является действительным.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

б) Дано уравнение $\sqrt{6x + 4} = 2$.
Возведем обе части уравнения в квадрат, так как правая часть ($2$) — неотрицательное число.
$(\sqrt{6x + 4})^2 = 2^2$
$6x + 4 = 4$
Перенесем $4$ в правую часть уравнения:
$6x = 4 - 4$
$6x = 0$
$x = 0$
Проверка ОДЗ ($6x + 4 \ge 0$):
$6 \cdot 0 + 4 = 4$. Так как $4 \ge 0$, корень является действительным.
Ответ: $0$.

в) Дано уравнение $\sqrt{12 - x} = 6$.
Возведем обе части уравнения в квадрат, так как правая часть ($6$) — неотрицательное число.
$(\sqrt{12 - x})^2 = 6^2$
$12 - x = 36$
Выразим $x$:
$-x = 36 - 12$
$-x = 24$
$x = -24$
Проверка ОДЗ ($12 - x \ge 0$):
$12 - (-24) = 12 + 24 = 36$. Так как $36 \ge 0$, корень является действительным.
Ответ: $-24$.

г) Дано уравнение $\sqrt{8x - 1} = 1$.
Возведем обе части уравнения в квадрат, так как правая часть ($1$) — неотрицательное число.
$(\sqrt{8x - 1})^2 = 1^2$
$8x - 1 = 1$
Перенесем $-1$ в правую часть уравнения:
$8x = 1 + 1$
$8x = 2$
$x = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
Проверка ОДЗ ($8x - 1 \ge 0$):
$8 \cdot \frac{1}{4} - 1 = 2 - 1 = 1$. Так как $1 \ge 0$, корень является действительным.
Ответ: $\frac{1}{4}$.