Страница 77 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

313. (Для работы в парах.) При каком значении переменной x верно равенство:

а) $\sqrt{x} = 11$;

б) $10\sqrt{x} = 3$;

в) $\sqrt{x} = -20$;

г) $2\sqrt{x} - 1 = 0$;

д) $5 - \sqrt{x} = 0$;

е) $2 + \sqrt{x} = 0$?

о каких равенствах можно сразу сказать, что они не являются верными ни при каких значениях x. Исключите их из рассмотрения.

кто выполняет оставшиеся задания из первой строки, а кто — из второй строки, и выполните их.

друг у друга, правильно ли выполнены задания. Исправьте замеченные ошибки.

В соответствии с заданием, сначала обсудим, какие из представленных равенств не могут быть верными ни при каких значениях переменной $x$.

По определению, арифметический квадратный корень из числа $x$, который обозначается как $\sqrt{x}$, является неотрицательным числом. Это означает, что для любого допустимого значения $x$ (т.е. $x \ge 0$) должно выполняться условие $\sqrt{x} \ge 0$.

Рассмотрим равенства в) $\sqrt{x} = -20$ и е) $2 + \sqrt{x} = 0$.

• В равенстве в) значение арифметического корня приравнивается к отрицательному числу -20, что противоречит его определению. Следовательно, это равенство неверно при любом $x$.
• Равенство е) можно преобразовать к виду $\sqrt{x} = -2$. Здесь мы также видим, что корень приравнивается к отрицательному числу, что невозможно.

Таким образом, равенства в) и е) не имеют решений. Теперь решим оставшиеся уравнения.

а) Дано равенство $\sqrt{x} = 11$. Чтобы найти $x$, необходимо возвести обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{x})^2 = 11^2$. Выполняем вычисление: $x = 121$.
Ответ: $x=121$.

б) Дано равенство $10\sqrt{x} = 3$. Сначала разделим обе части на 10, чтобы выразить $\sqrt{x}$: $\sqrt{x} = \frac{3}{10}$. Теперь возведем обе части в квадрат: $x = (\frac{3}{10})^2 = \frac{9}{100}$, что равно $0.09$.
Ответ: $x=0.09$.

в) Дано равенство $\sqrt{x} = -20$. Как было показано выше, арифметический квадратный корень не может быть отрицательным числом, поэтому данное уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.

г) Дано равенство $2\sqrt{x} - 1 = 0$. Сначала перенесем -1 в правую часть уравнения, изменив знак: $2\sqrt{x} = 1$. Затем разделим обе части на 2: $\sqrt{x} = \frac{1}{2}$. Возводим обе части в квадрат: $x = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$, что равно $0.25$.
Ответ: $x=0.25$.

д) Дано равенство $5 - \sqrt{x} = 0$. Перенесем $\sqrt{x}$ в правую часть уравнения: $5 = \sqrt{x}$. Чтобы найти $x$, возведем обе части в квадрат: $x = 5^2 = 25$.
Ответ: $x=25$.

е) Дано равенство $2 + \sqrt{x} = 0$. Преобразуем уравнение, перенеся 2 в правую часть: $\sqrt{x} = -2$. Как и в случае в), это уравнение не имеет решений, так как корень не может быть отрицательным.
Ответ: решений нет.

315. Решите уравнение:

а) $\sqrt{3x-1}=1$;

б) $\sqrt{6x+4}=2$;

в) $\sqrt{12-x}=6$;

г) $\sqrt{8x-1}=1$.

а) Дано уравнение $\sqrt{3x - 1} = 1$.
Чтобы избавиться от знака корня, возведем обе части уравнения в квадрат. Это преобразование является равносильным, так как правая часть уравнения ($1$) — неотрицательное число.
$(\sqrt{3x - 1})^2 = 1^2$
$3x - 1 = 1$
Перенесем $-1$ в правую часть уравнения, изменив знак:
$3x = 1 + 1$
$3x = 2$
$x = \frac{2}{3}$
Выполним проверку, чтобы убедиться, что подкоренное выражение не является отрицательным при найденном значении $x$ (проверка ОДЗ: $3x - 1 \ge 0$):
$3 \cdot \frac{2}{3} - 1 = 2 - 1 = 1$. Так как $1 \ge 0$, корень является действительным.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

б) Дано уравнение $\sqrt{6x + 4} = 2$.
Возведем обе части уравнения в квадрат, так как правая часть ($2$) — неотрицательное число.
$(\sqrt{6x + 4})^2 = 2^2$
$6x + 4 = 4$
Перенесем $4$ в правую часть уравнения:
$6x = 4 - 4$
$6x = 0$
$x = 0$
Проверка ОДЗ ($6x + 4 \ge 0$):
$6 \cdot 0 + 4 = 4$. Так как $4 \ge 0$, корень является действительным.
Ответ: $0$.

в) Дано уравнение $\sqrt{12 - x} = 6$.
Возведем обе части уравнения в квадрат, так как правая часть ($6$) — неотрицательное число.
$(\sqrt{12 - x})^2 = 6^2$
$12 - x = 36$
Выразим $x$:
$-x = 36 - 12$
$-x = 24$
$x = -24$
Проверка ОДЗ ($12 - x \ge 0$):
$12 - (-24) = 12 + 24 = 36$. Так как $36 \ge 0$, корень является действительным.
Ответ: $-24$.

г) Дано уравнение $\sqrt{8x - 1} = 1$.
Возведем обе части уравнения в квадрат, так как правая часть ($1$) — неотрицательное число.
$(\sqrt{8x - 1})^2 = 1^2$
$8x - 1 = 1$
Перенесем $-1$ в правую часть уравнения:
$8x = 1 + 1$
$8x = 2$
$x = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
Проверка ОДЗ ($8x - 1 \ge 0$):
$8 \cdot \frac{1}{4} - 1 = 2 - 1 = 1$. Так как $1 \ge 0$, корень является действительным.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

317. Найдите значение выражения $1.5x^3y^2 \cdot 6.2xy$, если $x = 1.25$, $y = 4$.

Чтобы найти значение выражения $1.5x^3y^2 \cdot 6.2xy$, сначала упростим его, перемножив одночлены. Для этого мы сгруппируем и перемножим числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.

1. Умножим числовые коэффициенты: $1.5 \cdot 6.2 = 9.3$.

2. Умножим степени с основанием $x$. По свойству степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем: $x^3 \cdot x^1 = x^{3+1} = x^4$.

3. Умножим степени с основанием $y$: $y^2 \cdot y^1 = y^{2+1} = y^3$.

Соединив все части, получаем упрощенное выражение: $9.3x^4y^3$.

Теперь подставим в это выражение заданные значения переменных: $x = 1.25$ и $y = 4$.

Вычисление будет проще, если мы заметим, что произведение $x$ на $y$ дает целое число:

$xy = 1.25 \cdot 4 = 5$.

Преобразуем наше упрощенное выражение $9.3x^4y^3$ так, чтобы использовать произведение $xy$:

$9.3x^4y^3 = 9.3 \cdot x \cdot x^3 \cdot y^3 = 9.3 \cdot x \cdot (xy)^3$.

Теперь подставим значения $x = 1.25$ и $xy = 5$ в преобразованное выражение:

$9.3 \cdot 1.25 \cdot (5)^3 = 9.3 \cdot 1.25 \cdot 125$.

Выполним умножение по шагам:

$1.25 \cdot 125 = 156.25$.

Теперь умножим результат на $9.3$:

$9.3 \cdot 156.25 = 1453.125$.

Таким образом, значение исходного выражения при заданных $x$ и $y$ равно $1453.125$.

Ответ: $1453.125$

314. Найдите значение переменной x, при котором верно равенство:

a) $\sqrt{3+5x}=7;$

б) $\sqrt{10x-14}=11;$

в) $\sqrt{\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}}=0.$

а) Дано уравнение $\sqrt{3+5x} = 7$.
Для решения этого иррационального уравнения необходимо возвести обе его части в квадрат, чтобы избавиться от знака корня. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), так как выражение под знаком квадратного корня не может быть отрицательным.
ОДЗ: $3+5x \ge 0$
$5x \ge -3$
$x \ge -\frac{3}{5}$ или $x \ge -0.6$
Теперь возводим обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{3+5x})^2 = 7^2$
$3+5x = 49$
Далее решаем полученное линейное уравнение:
$5x = 49 - 3$
$5x = 46$
$x = \frac{46}{5}$
$x = 9.2$
Проверим, соответствует ли найденный корень ОДЗ. Так как $9.2 \ge -0.6$, условие выполняется, следовательно, корень найден верно.
Ответ: $9.2$.

б) Дано уравнение $\sqrt{10x-14} = 11$.
Действуем аналогично предыдущему пункту. Найдем ОДЗ:
ОДЗ: $10x-14 \ge 0$
$10x \ge 14$
$x \ge \frac{14}{10}$ или $x \ge 1.4$
Возводим обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{10x-14})^2 = 11^2$
$10x-14 = 121$
Решаем полученное линейное уравнение:
$10x = 121 + 14$
$10x = 135$
$x = \frac{135}{10}$
$x = 13.5$
Проверим, соответствует ли найденный корень ОДЗ. Так как $13.5 \ge 1.4$, условие выполняется, корень является верным.
Ответ: $13.5$.

в) Дано уравнение $\sqrt{\frac{1}{3}x - \frac{1}{2}} = 0$.
Квадратный корень из выражения равен нулю тогда и только тогда, когда само это выражение равно нулю. Поэтому можно сразу приравнять подкоренное выражение к нулю. Также убедимся, что решение входит в ОДЗ.
ОДЗ: $\frac{1}{3}x - \frac{1}{2} \ge 0$
$\frac{1}{3}x \ge \frac{1}{2}$
$x \ge \frac{1}{2} \cdot 3$
$x \ge \frac{3}{2}$ или $x \ge 1.5$
Приравниваем подкоренное выражение к нулю:
$\frac{1}{3}x - \frac{1}{2} = 0$
$\frac{1}{3}x = \frac{1}{2}$
Умножим обе части на 3, чтобы найти $x$:
$x = \frac{1}{2} \cdot 3$
$x = \frac{3}{2}$
$x = 1.5$
Найденный корень $x=1.5$ удовлетворяет условию ОДЗ ($1.5 \ge 1.5$), значит, это верное решение.
Ответ: $1.5$.

316. Найдите корни уравнения:

а) $\sqrt{12+x-7}=3$;

б) $\sqrt{5x-1-4}=6$;

в) $16-\sqrt{x-2}=7$;

г) $12-\sqrt{3-6x}=-2$.

а) $\sqrt{12+x}-7=3$

Чтобы решить это иррациональное уравнение, сначала изолируем радикал (квадратный корень) в одной части уравнения. Для этого перенесем -7 в правую часть с противоположным знаком:

$\sqrt{12+x} = 3+7$

$\sqrt{12+x} = 10$

Теперь, чтобы избавиться от знака корня, возведем обе части уравнения в квадрат. Перед этим определим область допустимых значений (ОДЗ), так как выражение под корнем не может быть отрицательным:

$12+x \ge 0 \implies x \ge -12$

Возводим в квадрат:

$(\sqrt{12+x})^2 = 10^2$

$12+x = 100$

Теперь решаем полученное линейное уравнение относительно $x$:

$x = 100 - 12$

$x = 88$

Проверяем, входит ли найденный корень в ОДЗ. Так как $88 \ge -12$, корень подходит. Выполним проверку, подставив значение в исходное уравнение:

$\sqrt{12+88}-7 = \sqrt{100}-7 = 10-7=3$.

$3=3$. Равенство верное.

Ответ: $88$.

б) $\sqrt{5x-1}-4=6$

Изолируем радикал, перенеся -4 в правую часть:

$\sqrt{5x-1} = 6+4$

$\sqrt{5x-1} = 10$

Определим ОДЗ:

$5x-1 \ge 0 \implies 5x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{5}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{5x-1})^2 = 10^2$

$5x-1 = 100$

Решаем линейное уравнение:

$5x = 101$

$x = \frac{101}{5}$

$x = 20.2$

Проверяем ОДЗ: $20.2 \ge \frac{1}{5}$ ($20.2 \ge 0.2$). Корень подходит. Проверка:

$\sqrt{5 \cdot 20.2 - 1} - 4 = \sqrt{101-1} - 4 = \sqrt{100} - 4 = 10-4=6$.

$6=6$. Равенство верное.

Ответ: $20.2$.

в) $16-\sqrt{x-2}=7$

Изолируем радикал. Удобнее перенести радикал в правую часть, а число 7 — в левую:

$16 - 7 = \sqrt{x-2}$

$\sqrt{x-2} = 9$

Определим ОДЗ:

$x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x-2})^2 = 9^2$

$x-2 = 81$

Найдем $x$:

$x = 81+2$

$x = 83$

Проверяем ОДЗ: $83 \ge 2$. Корень подходит. Проверка:

$16-\sqrt{83-2} = 16-\sqrt{81} = 16-9=7$.

$7=7$. Равенство верное.

Ответ: $83$.

г) $12-\sqrt{3-6x}=-2$

Изолируем радикал, перенеся его в правую часть, а -2 — в левую:

$12 - (-2) = \sqrt{3-6x}$

$12 + 2 = \sqrt{3-6x}$

$\sqrt{3-6x} = 14$

Определим ОДЗ:

$3-6x \ge 0 \implies 3 \ge 6x \implies \frac{3}{6} \ge x \implies x \le 0.5$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{3-6x})^2 = 14^2$

$3-6x = 196$

Решаем линейное уравнение:

$-6x = 196-3$

$-6x = 193$

$x = -\frac{193}{6}$

Проверяем ОДЗ: $-\frac{193}{6} \approx -32.17$, что очевидно меньше $0.5$. Корень подходит. Проверка:

$12 - \sqrt{3-6(-\frac{193}{6})} = 12 - \sqrt{3+193} = 12 - \sqrt{196} = 12 - 14 = -2$.

$-2=-2$. Равенство верное.

Ответ: $-\frac{193}{6}$.

318. Запишите без знака модуля:

а) $|a^2|$;

б) $|a^3|$, где $a > 0$;

в) $|a^3|$, где $a < 0$.

а)

Чтобы записать выражение $|a^2|$ без знака модуля, необходимо определить знак подмодульного выражения $a^2$.
Квадрат любого действительного числа $a$ (положительного, отрицательного или нуля) всегда является неотрицательным числом, то есть $a^2 \ge 0$.
Согласно определению модуля, $|x| = x$, если $x \ge 0$.
Поскольку выражение $a^2$ всегда неотрицательно, мы можем просто убрать знак модуля.

Ответ: $a^2$

б)

Рассмотрим выражение $|a^3|$ при условии, что $a > 0$.
Если число $a$ положительное, то его третья степень ($a^3$) также будет положительной, так как произведение трех положительных чисел есть число положительное.
Так как подмодульное выражение $a^3$ положительно ($a^3 > 0$), то по определению модуля $|x| = x$, если $x > 0$.
Следовательно, $|a^3| = a^3$.

Ответ: $a^3$

в)

Рассмотрим выражение $|a^3|$ при условии, что $a < 0$.
Если число $a$ отрицательное, то его третья степень ($a^3$) будет отрицательной, так как произведение трех отрицательных чисел есть число отрицательное ($(-) \cdot (-) \cdot (-) = (+) \cdot (-) = (-)$).
Так как подмодульное выражение $a^3$ отрицательно ($a^3 < 0$), то по определению модуля $|x| = -x$, если $x < 0$.
Следовательно, чтобы убрать знак модуля, мы должны изменить знак подмодульного выражения на противоположный.

Ответ: $-a^3$