Страница 83 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

341. Площадь квадрата равна $18 \text{ см}^2$.
Найдите с помощью калькулятора его сторону с точностью до $0,1 \text{ см}$.

Площадь квадрата ($S$) вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ – длина его стороны.

Согласно условию задачи, площадь квадрата равна 18 см². Таким образом, мы получаем уравнение:
$a^2 = 18$

Чтобы найти длину стороны квадрата $a$, необходимо извлечь квадратный корень из значения площади:
$a = \sqrt{18}$

Используя калькулятор, вычислим значение корня:
$a = \sqrt{18} \approx 4.24264068...$ см

Требуется найти сторону с точностью до 0,1 см, что означает округление до одного знака после запятой. Для этого смотрим на вторую цифру после запятой. В числе $4.2426...$ это цифра 4. Поскольку $4 < 5$, мы округляем в меньшую сторону, то есть оставляем первую цифру после запятой без изменений.
$a \approx 4.2$ см

Ответ: 4,2 см.

343. Представьте выражение в удобном для вычисления на калькуляторе виде и найдите его значение (ответ округлите до сотых):

а) $\sqrt{48.5 \cdot 7.3 + 39.6 \cdot 7.3}$

б) $8.567 + \sqrt{54}$

а) Для упрощения вычислений вынесем общий множитель $7.3$ за скобки в подкоренном выражении. Это является представлением выражения в удобном для вычисления виде.

$\sqrt{48.5 \cdot 7.3 + 39.6 \cdot 7.3} = \sqrt{(48.5 + 39.6) \cdot 7.3}$

Теперь выполним вычисления по шагам:

1. Сложим числа в скобках: $48.5 + 39.6 = 88.1$.

2. Подставим результат в выражение и вычислим произведение: $\sqrt{88.1 \cdot 7.3} = \sqrt{643.13}$.

3. Извлечем квадратный корень: $\sqrt{643.13} \approx 25.359219...$

4. Округлим результат до сотых. Так как третья цифра после запятой ($9$) больше или равна $5$, увеличиваем вторую цифру на единицу: $25.36$.

Ответ: $25.36$

б) Данное выражение $8.567 + \sqrt{54}$ уже находится в удобном для вычисления на калькуляторе виде. Вычисления производятся в следующем порядке:

1. Найдем значение квадратного корня из $54$:

$\sqrt{54} \approx 7.348469...$

2. Выполним сложение:

$8.567 + 7.348469... = 15.915469...$

3. Округлим полученное значение до сотых. Так как третья цифра после запятой равна $5$, увеличиваем вторую цифру на единицу: $15.92$.

Ответ: $15.92$

345. Длина стороны $a_8$ правильного восьмиугольника, вписанного в круг радиуса $R$, вычисляется по формуле $a_8 = R\sqrt{2 - \sqrt{2}}$. Найдите $a_8$ с помощью калькулятора (с точностью до 0,1), если:

a) $R = 9,4$ см;

б) $R = 10,5$ см.

а)

Для того чтобы найти длину стороны $a_8$ правильного восьмиугольника, подставим заданное значение радиуса $R = 9,4$ см в формулу $a_8 = R\sqrt{2 - \sqrt{2}}$.
$a_8 = 9,4 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}}$
С помощью калькулятора вычислим значение выражения. Для большей точности сначала найдем значение подкоренного выражения:
$\sqrt{2} \approx 1,41421356$
$2 - \sqrt{2} \approx 2 - 1,41421356 = 0,58578644$
$\sqrt{0,58578644} \approx 0,76536686$
Теперь умножим на радиус:
$a_8 \approx 9,4 \cdot 0,76536686 \approx 7,1944485$ см.
Округляем результат с точностью до 0,1 (до десятых). Так как следующая за десятыми цифра (9) больше или равна 5, увеличиваем разряд десятых на единицу.
$a_8 \approx 7,2$ см.
Ответ: $a_8 \approx 7,2$ см.

б)

Аналогично для $R = 10,5$ см:
$a_8 = 10,5 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}}$
Используем ранее вычисленное значение $\sqrt{2 - \sqrt{2}} \approx 0,76536686$:
$a_8 \approx 10,5 \cdot 0,76536686 \approx 8,03635203$ см.
Округляем результат с точностью до 0,1 (до десятых). Так как следующая за десятыми цифра (3) меньше 5, разряд десятых оставляем без изменений.
$a_8 \approx 8,0$ см.
Ответ: $a_8 \approx 8,0$ см.

347. Время $t$ (с) полного колебания маятника вычисляется по формуле $t=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$, где $l$ (см) — длина маятника, $g \approx 10 \text{ м/с}^2$, $\pi \approx 3,14$. Найдите $t$ с помощью калькулятора с точностью до 0,1 с, если $l$ равно:

а) 22;

б) 126.

Для решения задачи воспользуемся формулой для времени $t$ полного колебания маятника: $t = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$.
В условии даны следующие значения: $g \approx 10 \text{ м/с}^2$ и $\pi \approx 3,14$.
Обратим внимание, что длина маятника $l$ дана в сантиметрах (см), а ускорение свободного падения $g$ — в метрах на секунду в квадрате (м/с²). Для корректных вычислений необходимо привести все величины к единой системе измерения. Переведем длину $l$ из сантиметров в метры, разделив ее значение на 100.

а)

Пусть $l = 22$ см.
Переведем длину в метры: $l = 22 \text{ см} = \frac{22}{100} \text{ м} = 0,22 \text{ м}$.
Теперь подставим все известные значения в формулу:
$t = 2 \times 3,14 \times \sqrt{\frac{0,22}{10}}$
$t = 6,28 \times \sqrt{0,022}$
Вычислим значение с помощью калькулятора:
$t \approx 6,28 \times 0,14832 \approx 0,9314496$ с.
Согласно условию, результат нужно округлить с точностью до 0,1 с. Так как вторая цифра после запятой (3) меньше 5, округляем в меньшую сторону.
$t \approx 0,9$ с.
Ответ: 0,9 с.

б)

Пусть $l = 126$ см.
Переведем длину в метры: $l = 126 \text{ см} = \frac{126}{100} \text{ м} = 1,26 \text{ м}$.
Теперь подставим все известные значения в формулу:
$t = 2 \times 3,14 \times \sqrt{\frac{1,26}{10}}$
$t = 6,28 \times \sqrt{0,126}$
Вычислим значение с помощью калькулятора:
$t \approx 6,28 \times 0,35496 \approx 2,2291488$ с.
Округлим результат с точностью до 0,1 с. Так как вторая цифра после запятой (2) меньше 5, округляем в меньшую сторону.
$t \approx 2,2$ с.
Ответ: 2,2 с.

340. Имеет ли смысл выражение:

а) $\sqrt{\sqrt{5}-3}$;

б) $\sqrt{4-\sqrt{12}}$?

а) Чтобы выражение $\sqrt{\sqrt{5}-3}$ имело смысл, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. То есть, должно выполняться условие $\sqrt{5}-3 \ge 0$.

Чтобы проверить это условие, сравним значения $\sqrt{5}$ и $3$. Проще всего сравнить их квадраты:

$(\sqrt{5})^2 = 5$

$3^2 = 9$

Поскольку $5 < 9$, то и $\sqrt{5} < \sqrt{9}$, а значит $\sqrt{5} < 3$.

Следовательно, разность $\sqrt{5}-3$ является отрицательным числом. Извлечение квадратного корня из отрицательного числа в области действительных чисел не определено.

Ответ: выражение не имеет смысла.

б) Чтобы выражение $\sqrt{4-\sqrt{12}}$ имело смысл, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. То есть, должно выполняться условие $4-\sqrt{12} \ge 0$.

Сравним значения $4$ и $\sqrt{12}$. Сравним их квадраты:

$4^2 = 16$

$(\sqrt{12})^2 = 12$

Поскольку $16 > 12$, то и $\sqrt{16} > \sqrt{12}$, а значит $4 > \sqrt{12}$.

Следовательно, разность $4-\sqrt{12}$ является положительным числом. Извлечение квадратного корня из положительного числа определено.

Ответ: выражение имеет смысл.

342. Какой записью выражения удобнее пользоваться для вычисления его значения на калькуляторе:

а) $\sqrt{(a+b)c}$ или $\sqrt{c(a+b)};$

б) $a+\sqrt{b}$ или $\sqrt{b}+a?$

а) $\sqrt{(a+b)c}$ или $\sqrt{c(a+b)}$
С точки зрения математики оба выражения тождественны благодаря коммутативному (переместительному) свойству умножения: $(a+b)c = c(a+b)$. Однако, для вычисления на калькуляторе удобство зависит от порядка действий.
Рассмотрим порядок вычислений для каждого выражения на стандартном калькуляторе:
Для вычисления выражения $\sqrt{(a+b)c}$ последовательность действий наиболее естественна:

1. Вычислить сумму в скобках: $a + b$.
2. Результат умножить на $c$.
3. Из полученного произведения извлечь квадратный корень.

Эта последовательность действий выполняется линейно, без необходимости сохранять промежуточные результаты в памяти или возвращаться к предыдущим операциям.
Для вычисления выражения $\sqrt{c(a+b)}$ пришлось бы либо сначала вычислить сумму $a+b$, запомнить или записать ее, затем ввести $c$ и умножить на сохраненный результат, либо мысленно поменять множители местами, что фактически приводит нас к первой форме записи. Таким образом, первая запись лучше отражает последовательность шагов при вычислении.
Ответ: удобнее пользоваться записью $\sqrt{(a+b)c}$.

б) $a + \sqrt{b}$ или $\sqrt{b} + a$
Как и в предыдущем случае, оба выражения равны из-за коммутативного свойства сложения: $a + \sqrt{b} = \sqrt{b} + a$. Выбор более удобной записи снова зависит от порядка действий на калькуляторе.
Рассмотрим порядок вычислений:
Для вычисления выражения $a + \sqrt{b}$ необходимо:

1. Сначала вычислить второй член суммы: извлечь корень из $b$.
2. Затем к полученному результату прибавить $a$.

Это означает, что вычисления нужно начинать не с первого числа в записи ($a$), а со второго ($b$). Это может быть неудобно и требует либо использования памяти калькулятора (сохранить $a$, вычислить $\sqrt{b}$, а потом прибавить сохраненное $a$), либо выполнения операций не в том порядке, в котором они записаны.
Для вычисления выражения $\sqrt{b} + a$ последовательность действий интуитивна и прямолинейна:

1. Ввести число $b$ и извлечь из него квадратный корень.
2. К полученному результату прибавить $a$.

Эта последовательность полностью соответствует записи выражения слева направо, что делает ее более удобной для большинства калькуляторов.
Ответ: удобнее пользоваться записью $\sqrt{b} + a$.

344. Найдите с помощью калькулятора (ответ округлите до сотых):

а) $6 + \sqrt{17};$

б) $12 - \sqrt{34};$

в) $\sqrt{10} + \sqrt{15};$

г) $\sqrt{62} - \sqrt{48};$

д) $\sqrt{3,4 \cdot 4,9};$

е) $6,5 + 3\sqrt{7,8}.$

а) Для вычисления значения выражения $6 + \sqrt{17}$ воспользуемся калькулятором. Сначала найдем приближенное значение квадратного корня из 17.

$\sqrt{17} \approx 4,1231056...$

Теперь прибавим 6 к полученному значению:

$6 + 4,1231056... = 10,1231056...$

Согласно условию, ответ нужно округлить до сотых. Так как третья цифра после запятой (3) меньше 5, округляем в меньшую сторону (отбрасываем цифры после сотых).

$10,1231056... \approx 10,12$

Ответ: 10,12

б) Для вычисления значения выражения $12 - \sqrt{34}$ найдем приближенное значение $\sqrt{34}$ с помощью калькулятора.

$\sqrt{34} \approx 5,8309518...$

Теперь вычтем это значение из 12:

$12 - 5,8309518... = 6,1690481...$

Округляем результат до сотых. Так как третья цифра после запятой (9) больше или равна 5, увеличиваем разряд сотых на единицу.

$6,1690481... \approx 6,17$

Ответ: 6,17

в) Для вычисления значения выражения $\sqrt{10} + \sqrt{15}$ найдем приближенные значения для каждого корня.

$\sqrt{10} \approx 3,1622776...$

$\sqrt{15} \approx 3,8729833...$

Сложим полученные значения:

$3,1622776... + 3,8729833... = 7,0352609...$

Округляем результат до сотых. Так как третья цифра после запятой равна 5, увеличиваем разряд сотых на единицу.

$7,0352609... \approx 7,04$

Ответ: 7,04

г) Для вычисления значения выражения $\sqrt{62} - \sqrt{48}$ найдем приближенные значения для каждого корня.

$\sqrt{62} \approx 7,8740078...$

$\sqrt{48} \approx 6,9282032...$

Вычтем второе значение из первого:

$7,8740078... - 6,9282032... = 0,9458046...$

Округляем результат до сотых. Так как третья цифра после запятой равна 5, увеличиваем разряд сотых на единицу.

$0,9458046... \approx 0,95$

Ответ: 0,95

д) Для вычисления значения выражения $\sqrt{3,4 \cdot 4,9}$ сначала выполним умножение под знаком корня.

$3,4 \cdot 4,9 = 16,66$

Теперь извлечем квадратный корень из результата:

$\sqrt{16,66} \approx 4,0816663...$

Округляем результат до сотых. Так как третья цифра после запятой (1) меньше 5, отбрасываем цифры после сотых.

$4,0816663... \approx 4,08$

Ответ: 4,08

е) Для вычисления значения выражения $6,5 + 3\sqrt{7,8}$ сначала найдем значение $\sqrt{7,8}$.

$\sqrt{7,8} \approx 2,792848...$

Затем умножим полученное значение на 3:

$3 \cdot 2,792848... = 8,378544...$

И, наконец, прибавим 6,5:

$6,5 + 8,378544... = 14,878544...$

Округляем результат до сотых. Так как третья цифра после запятой (8) больше или равна 5, увеличиваем разряд сотых на единицу.

$14,878544... \approx 14,88$

Ответ: 14,88

346. Свободно падающее тело в безвоздушном пространстве проходит $s$ см за $t$ с, где $t = \sqrt{\frac{2s}{g}}$, $g$ — ускорение свободного падения, $g \approx 10 \text{ м/с}^2$. Пользуясь калькулятором, вычислите $t$ с точностью до 0,1 с, если:

а) $s = 175$;

б) $s = 225$.

Для решения задачи используется формула времени свободного падения $t = \sqrt{\frac{2s}{g}}$.

В условии дано, что расстояние $s$ измеряется в сантиметрах, а ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$. Для согласования единиц измерения в формуле, необходимо перевести значение $g$ из метров в секунду в квадрате ($\text{м/с}^2$) в сантиметры в секунду в квадрате ($\text{см/с}^2$).

Поскольку $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$, то:

$g \approx 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 10 \times 100 \frac{\text{см}}{\text{с}^2} = 1000 \frac{\text{см}}{\text{с}^2}$.

Теперь можно приступать к вычислениям для каждого случая.

а) Вычислим время $t$ для $s = 175$ см.

Подставим значения $s = 175$ и $g = 1000$ в формулу:

$t = \sqrt{\frac{2s}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 175}{1000}} = \sqrt{\frac{350}{1000}} = \sqrt{0,35}$

С помощью калькулятора находим значение корня:

$t \approx 0,5916...$ с

Согласно условию, результат необходимо округлить с точностью до 0,1 с. Так как вторая цифра после запятой (9) больше или равна 5, округляем в большую сторону.

Ответ: $0,6$ с.

б) Вычислим время $t$ для $s = 225$ см.

Подставим значения $s = 225$ и $g = 1000$ в формулу:

$t = \sqrt{\frac{2s}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 225}{1000}} = \sqrt{\frac{450}{1000}} = \sqrt{0,45}$

С помощью калькулятора находим значение корня:

$t \approx 0,6708...$ с

Округляем результат с точностью до 0,1 с. Так как вторая цифра после запятой (7) больше или равна 5, округляем в большую сторону.

Ответ: $0,7$ с.

348. Решите уравнение и найдите с помощью калькулятора приближённые значения его корней (ответ округлите до сотых):

а) $x^2 = 30;$

б) $7x^2 = 10;$

в) $(x - 3)^2 = 12;$

г) $(x + 1)^2 = 8.$

а) $x^2 = 30$

Чтобы решить данное уравнение, необходимо извлечь квадратный корень из обеих его частей. При извлечении квадратного корня следует учитывать как положительный, так и отрицательный результат.

$x = \pm\sqrt{30}$

Таким образом, уравнение имеет два корня: $x_1 = \sqrt{30}$ и $x_2 = -\sqrt{30}$.

Теперь вычислим приближенные значения этих корней с помощью калькулятора и округлим результат до сотых:

$x_1 = \sqrt{30} \approx 5.47722... \approx 5.48$

$x_2 = -\sqrt{30} \approx -5.47722... \approx -5.48$

Ответ: $x \approx \pm5.48$.

б) $7x^2 = 10$

Сначала разделим обе части уравнения на 7, чтобы выразить $x^2$.

$x^2 = \frac{10}{7}$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{\frac{10}{7}}$

Уравнение имеет два корня: $x_1 = \sqrt{\frac{10}{7}}$ и $x_2 = -\sqrt{\frac{10}{7}}$.

Вычислим приближенные значения корней и округлим до сотых:

$x_1 = \sqrt{\frac{10}{7}} \approx \sqrt{1.42857...} \approx 1.19522... \approx 1.20$

$x_2 = -\sqrt{\frac{10}{7}} \approx -\sqrt{1.42857...} \approx -1.19522... \approx -1.20$

Ответ: $x \approx \pm1.20$.

в) $(x - 3)^2 = 12$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x - 3 = \pm\sqrt{12}$

Далее, чтобы найти $x$, перенесем -3 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$x = 3 \pm\sqrt{12}$

Уравнение имеет два корня:

$x_1 = 3 + \sqrt{12}$

$x_2 = 3 - \sqrt{12}$

Найдем их приближенные значения с помощью калькулятора, зная, что $\sqrt{12} \approx 3.46410...$, и округлим до сотых:

$x_1 = 3 + \sqrt{12} \approx 3 + 3.46410... = 6.46410... \approx 6.46$

$x_2 = 3 - \sqrt{12} \approx 3 - 3.46410... = -0.46410... \approx -0.46$

Ответ: $x_1 \approx 6.46$, $x_2 \approx -0.46$.

г) $(x + 1)^2 = 8$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x + 1 = \pm\sqrt{8}$

Теперь, чтобы найти $x$, перенесем 1 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$x = -1 \pm\sqrt{8}$

Уравнение имеет два корня:

$x_1 = -1 + \sqrt{8}$

$x_2 = -1 - \sqrt{8}$

Найдем их приближенные значения с помощью калькулятора, зная, что $\sqrt{8} \approx 2.82842...$, и округлим до сотых:

$x_1 = -1 + \sqrt{8} \approx -1 + 2.82842... = 1.82842... \approx 1.83$

$x_2 = -1 - \sqrt{8} \approx -1 - 2.82842... = -3.82842... \approx -3.83$

Ответ: $x_1 \approx 1.83$, $x_2 \approx -3.83$.