Страница 86 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

353. Задайте формулой зависимость:

а) площади поверхности куба S от длины его ребра a; $S = 6a^2$

б) длины ребра куба a от площади его поверхности S. $a = \sqrt{\frac{S}{6}}$

a) площади поверхности куба S от длины его ребра a;

Куб имеет 6 одинаковых граней, каждая из которых является квадратом. Пусть длина ребра куба равна $a$. Тогда площадь одной грани куба равна площади квадрата со стороной $a$, то есть $a^2$. Полная площадь поверхности куба $S$ равна сумме площадей всех его шести граней. Следовательно, чтобы найти общую площадь поверхности, нужно площадь одной грани умножить на 6. Формула зависимости площади поверхности куба $S$ от длины его ребра $a$ имеет вид: $S = 6 \cdot a^2$

Ответ: $S = 6a^2$

б) длины ребра куба a от площади его поверхности S.

Воспользуемся формулой, полученной в предыдущем пункте: $S = 6a^2$. Чтобы выразить длину ребра $a$ через площадь поверхности $S$, необходимо решить это уравнение относительно $a$. Сначала разделим обе части уравнения на 6: $\frac{S}{6} = a^2$ Затем извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как длина ребра $a$ является положительной величиной, мы рассматриваем только арифметический корень: $a = \sqrt{\frac{S}{6}}$

Ответ: $a = \sqrt{\frac{S}{6}}$

355. Пользуясь графиком функции $y=\sqrt{x}$, найдите:

а) значение $\sqrt{x}$ при $x = 2,5; 5,5; 8,4;

б) значение $x$, которому соответствует $\sqrt{x} = 1,2; 1,7; 2,5.$

Данная задача предполагает использование графика функции $y=\sqrt{x}$. Поскольку график не приложен, мы опишем метод работы с ним и приведем результаты, которые можно было бы получить графически, а также точные расчеты.

а) найти значение $\sqrt{x}$ при $x = 2,5; 5,5; 8,4$

Чтобы найти значение $y=\sqrt{x}$ по графику для заданного значения аргумента $x$, необходимо найти на оси абсцисс ($Ox$) точку с соответствующей координатой. Затем от этой точки нужно провести вертикальную линию до пересечения с графиком функции. От точки пересечения следует провести горизонтальную линию до оси ординат ($Oy$). Координата на оси $Oy$ и будет искомым значением $\sqrt{x}$.

Поскольку в задании требуется найти значения по графику, мы дадим приблизительные значения, которые можно было бы с него считать, а в скобках укажем более точные, вычисленные на калькуляторе.

• При $x = 2,5$, соответствующее значение $y$ на графике будет приблизительно $1,6$. (Точный расчет: $\sqrt{2,5} \approx 1,58$)
• При $x = 5,5$, соответствующее значение $y$ на графике будет приблизительно $2,3$. (Точный расчет: $\sqrt{5,5} \approx 2,35$)
• При $x = 8,4$, соответствующее значение $y$ на графике будет приблизительно $2,9$. (Точный расчет: $\sqrt{8,4} \approx 2,90$)

Ответ: $\sqrt{2,5} \approx 1,6$; $\sqrt{5,5} \approx 2,3$; $\sqrt{8,4} \approx 2,9$.

б) найти значение $x$, которому соответствует $\sqrt{x} = 1,2; 1,7; 2,5$

Чтобы найти значение $x$ для заданного значения функции $y = \sqrt{x}$ на графике, нужно найти это значение $y$ на оси ординат ($Oy$). Затем от этой точки следует провести горизонтальную линию до пересечения с графиком, а от точки пересечения — вертикальную линию до оси абсцисс ($Ox$). Полученная точка на оси $Ox$ и будет искомым значением $x$.

Для нахождения точных значений воспользуемся тем, что если $\sqrt{x} = y$, то $x = y^2$ (при $y \ge 0$).

• При $\sqrt{x} = 1,2$, получаем $x = (1,2)^2 = 1,44$.
• При $\sqrt{x} = 1,7$, получаем $x = (1,7)^2 = 2,89$.
• При $\sqrt{x} = 2,5$, получаем $x = (2,5)^2 = 6,25$.

Графически эти значения были бы определены с некоторой погрешностью, например, $1,4$; $2,9$ и $6,3$ соответственно. В ответе приведем точные вычисленные значения.

Ответ: при $\sqrt{x} = 1,2$, $x=1,44$; при $\sqrt{x} = 1,7$, $x=2,89$; при $\sqrt{x} = 2,5$, $x=6,25$.

354. Площадь поверхности шара радиуса $R$ вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$. Задайте формулой зависимость $R$ от $S$.

Дана формула для вычисления площади поверхности $S$ шара радиуса $R$: $S = 4\pi R^2$.
Чтобы задать формулой зависимость $R$ от $S$, необходимо выразить $R$ из данного уравнения.

Выполним следующие шаги:

1. Разделим обе части уравнения на $4\pi$, чтобы выделить $R^2$:
$\frac{S}{4\pi} = \frac{4\pi R^2}{4\pi}$
$R^2 = \frac{S}{4\pi}$

2. Теперь, чтобы найти $R$, извлечем квадратный корень из обеих частей полученного равенства. Поскольку радиус $R$ — это длина, он не может быть отрицательным, поэтому мы берем только положительное значение корня:
$\sqrt{R^2} = \sqrt{\frac{S}{4\pi}}$
$R = \sqrt{\frac{S}{4\pi}}$

Это и есть искомая формула зависимости радиуса $R$ от площади поверхности шара $S$.

Ответ: $R = \sqrt{\frac{S}{4\pi}}$