Страница 91 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

370. Вычислите значение корня:

а) $\sqrt{\frac{9}{64}}$;

б) $\sqrt{\frac{36}{25}}$;

в) $\sqrt{\frac{121}{25}}$;

г) $\sqrt{1\frac{9}{16}}$;

д) $\sqrt{2\frac{7}{81}}$;

е) $\sqrt{5\frac{1}{16}}$.

а) Для вычисления корня из дроби используется свойство $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$, согласно которому корень из дроби равен частному корней из числителя и знаменателя. Применяя это свойство, получаем: $\sqrt{\frac{9}{64}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{64}} = \frac{3}{8}$.

Ответ: $\frac{3}{8}$.

б) Аналогично предыдущему заданию, извлекаем корень из числителя и знаменателя: $\sqrt{\frac{36}{25}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{25}} = \frac{6}{5}$.

Ответ: $\frac{6}{5}$.

в) Используя то же свойство корня из частного, находим: $\sqrt{\frac{121}{25}} = \frac{\sqrt{121}}{\sqrt{25}} = \frac{11}{5}$.

Ответ: $\frac{11}{5}$.

г) В данном случае под корнем находится смешанное число. Сначала преобразуем его в неправильную дробь: $1\frac{9}{16} = \frac{1 \cdot 16 + 9}{16} = \frac{25}{16}$. Теперь можно извлечь корень: $\sqrt{1\frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}} = \frac{5}{4}$.

Ответ: $\frac{5}{4}$.

д) Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{7}{81} = \frac{2 \cdot 81 + 7}{81} = \frac{162 + 7}{81} = \frac{169}{81}$. Затем вычисляем корень: $\sqrt{2\frac{7}{81}} = \sqrt{\frac{169}{81}} = \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{81}} = \frac{13}{9}$.

Ответ: $\frac{13}{9}$.

е) Сначала преобразуем смешанное число $5\frac{1}{16}$ в неправильную дробь: $5\frac{1}{16} = \frac{5 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{80 + 1}{16} = \frac{81}{16}$. После этого извлекаем корень из полученной дроби: $\sqrt{5\frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{81}{16}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{16}} = \frac{9}{4}$.

Ответ: $\frac{9}{4}$.

372. Найдите значение выражения:

а) $ \sqrt{9 \cdot 64 \cdot 0,25}; $

б) $ \sqrt{1,21 \cdot 0,09 \cdot 0,0001}; $

в) $ \sqrt{\frac{25}{81} \cdot \frac{16}{49} \cdot \frac{196}{9}}; $

г) $ \sqrt{5\frac{1}{16} \cdot 2\frac{34}{81}}. $

а) Для вычисления значения выражения $\sqrt{9 \cdot 64 \cdot 0,25}$ воспользуемся свойством корня из произведения: корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей ($\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$).

$\sqrt{9 \cdot 64 \cdot 0,25} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{64} \cdot \sqrt{0,25}$

Извлекаем корень из каждого множителя: $\sqrt{9}=3$, $\sqrt{64}=8$, $\sqrt{0,25}=0,5$.

Теперь перемножаем полученные значения: $3 \cdot 8 \cdot 0,5 = 24 \cdot 0,5 = 12$.

Ответ: $12$

б) Аналогично предыдущему примеру, для выражения $\sqrt{1,21 \cdot 0,09 \cdot 0,0001}$ применим свойство корня из произведения.

$\sqrt{1,21 \cdot 0,09 \cdot 0,0001} = \sqrt{1,21} \cdot \sqrt{0,09} \cdot \sqrt{0,0001}$

Находим значения корней: $\sqrt{1,21}=1,1$, $\sqrt{0,09}=0,3$, $\sqrt{0,0001}=0,01$.

Вычисляем произведение: $1,1 \cdot 0,3 \cdot 0,01 = 0,33 \cdot 0,01 = 0,0033$.

Ответ: $0,0033$

в) Для выражения $\sqrt{\frac{25}{81} \cdot \frac{16}{49} \cdot \frac{196}{9}}$ используем то же свойство, а также свойство корня из дроби ($\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$).

$\sqrt{\frac{25}{81} \cdot \frac{16}{49} \cdot \frac{196}{9}} = \sqrt{\frac{25}{81}} \cdot \sqrt{\frac{16}{49}} \cdot \sqrt{\frac{196}{9}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{81}} \cdot \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{49}} \cdot \frac{\sqrt{196}}{\sqrt{9}} = \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{14}{3}$.

Перемножаем полученные дроби и сокращаем: $\frac{5 \cdot 4 \cdot 14}{9 \cdot 7 \cdot 3} = \frac{5 \cdot 4 \cdot (2 \cdot 7)}{9 \cdot 7 \cdot 3} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 2}{9 \cdot 3} = \frac{40}{27}$.

Ответ: $\frac{40}{27}$

г) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{5\frac{1}{16} \cdot 2\frac{34}{81}}$, сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

$5\frac{1}{16} = \frac{5 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{80 + 1}{16} = \frac{81}{16}$

$2\frac{34}{81} = \frac{2 \cdot 81 + 34}{81} = \frac{162 + 34}{81} = \frac{196}{81}$

Подставляем полученные дроби в исходное выражение: $\sqrt{\frac{81}{16} \cdot \frac{196}{81}}$.

Сократим дроби под корнем, убрав общий множитель $81$: $\sqrt{\frac{196}{16}}$.

Теперь извлекаем корень и упрощаем результат: $\sqrt{\frac{196}{16}} = \frac{\sqrt{196}}{\sqrt{16}} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} = 3,5$.

Ответ: $3,5$

374. Вычислите значение корня:

a) $\sqrt{810 \cdot 40}$;

б) $\sqrt{10 \cdot 250}$;

в) $\sqrt{72 \cdot 32}$;

г) $\sqrt{8 \cdot 98}$;

д) $\sqrt{50 \cdot 18}$;

е) $\sqrt{2,5 \cdot 14,4}$;

ж) $\sqrt{90 \cdot 6,4}$;

з) $\sqrt{16,9 \cdot 0,4}$.

а) Чтобы вычислить значение корня $\sqrt{810 \cdot 40}$, разложим подкоренные числа на множители так, чтобы выделить полные квадраты. Представим $810$ как $81 \cdot 10$ и $40$ как $4 \cdot 10$. $ \sqrt{810 \cdot 40} = \sqrt{(81 \cdot 10) \cdot (4 \cdot 10)} = \sqrt{81 \cdot 4 \cdot 10 \cdot 10} = \sqrt{81 \cdot 4 \cdot 100} $. Используя свойство корня из произведения ($\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$), получаем: $ \sqrt{81} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{100} = 9 \cdot 2 \cdot 10 = 180 $.
Ответ: 180.

б) Для вычисления $\sqrt{10 \cdot 250}$ разложим число $250$ на множители. $250 = 25 \cdot 10$. $ \sqrt{10 \cdot 250} = \sqrt{10 \cdot (25 \cdot 10)} = \sqrt{25 \cdot 10 \cdot 10} = \sqrt{25 \cdot 100} $. Применяем свойство корня из произведения: $ \sqrt{25} \cdot \sqrt{100} = 5 \cdot 10 = 50 $.
Ответ: 50.

в) Чтобы найти значение $\sqrt{72 \cdot 32}$, разложим множители под корнем так, чтобы выделить полные квадраты. Представим $72$ как $36 \cdot 2$. $ \sqrt{72 \cdot 32} = \sqrt{(36 \cdot 2) \cdot 32} = \sqrt{36 \cdot (2 \cdot 32)} = \sqrt{36 \cdot 64} $. Теперь извлечем корень из каждого множителя: $ \sqrt{36} \cdot \sqrt{64} = 6 \cdot 8 = 48 $.
Ответ: 48.

г) Для вычисления $\sqrt{8 \cdot 98}$ разложим оба числа на множители. $8 = 4 \cdot 2$ и $98 = 2 \cdot 49$. $ \sqrt{8 \cdot 98} = \sqrt{(4 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 49)} = \sqrt{4 \cdot 49 \cdot (2 \cdot 2)} = \sqrt{4 \cdot 49 \cdot 4} $. Извлекая корни из полных квадратов, получаем: $ \sqrt{4} \cdot \sqrt{49} \cdot \sqrt{4} = 2 \cdot 7 \cdot 2 = 28 $.
Ответ: 28.

д) Для вычисления $\sqrt{50 \cdot 18}$ можно сначала перемножить числа под корнем, что в данном случае упрощает задачу. $ 50 \cdot 18 = 900 $. Тогда выражение принимает вид $\sqrt{900}$. $ \sqrt{900} = \sqrt{9 \cdot 100} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{100} = 3 \cdot 10 = 30 $.
Ответ: 30.

е) Чтобы вычислить $\sqrt{2.5 \cdot 14.4}$, можно сначала выполнить умножение под корнем. $ 2.5 \cdot 14.4 = 36 $. Тогда получаем $\sqrt{36}$. $ \sqrt{36} = 6 $.
Ответ: 6.

ж) Для вычисления $\sqrt{90 \cdot 6.4}$ удобно избавиться от десятичной дроби под корнем, "переместив" множитель 10. $ \sqrt{90 \cdot 6.4} = \sqrt{(9 \cdot 10) \cdot 6.4} = \sqrt{9 \cdot (10 \cdot 6.4)} = \sqrt{9 \cdot 64} $. Теперь извлекаем корень из каждого множителя: $ \sqrt{9} \cdot \sqrt{64} = 3 \cdot 8 = 24 $.
Ответ: 24.

з) Для вычисления $\sqrt{16.9 \cdot 0.4}$ преобразуем произведение под корнем, чтобы работать с целыми или более удобными числами. $ \sqrt{16.9 \cdot 0.4} = \sqrt{(1.69 \cdot 10) \cdot 0.4} = \sqrt{1.69 \cdot (10 \cdot 0.4)} = \sqrt{1.69 \cdot 4} $. Извлекаем корень из каждого множителя, зная, что $1.3^2 = 1.69$: $ \sqrt{1.69} \cdot \sqrt{4} = 1.3 \cdot 2 = 2.6 $.
Ответ: 2.6.

369. Найдите значение выражения:

a) $\sqrt{100 \cdot 49};$

б) $\sqrt{81 \cdot 400};$

в) $\sqrt{64 \cdot 121};$

г) $\sqrt{144 \cdot 0.25};$

д) $\sqrt{0.01 \cdot 169};$

е) $\sqrt{2.25 \cdot 0.04}.$

Для решения всех пунктов этого задания используется свойство арифметического квадратного корня из произведения: корень из произведения двух неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей. Формула выглядит так: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ для $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

а) Применим указанное свойство к выражению:

$\sqrt{100 \cdot 49} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{49}$

Теперь вычислим значения каждого корня по отдельности:

$\sqrt{100} = 10$

$\sqrt{49} = 7$

Наконец, перемножим полученные результаты:

$10 \cdot 7 = 70$

Ответ: 70.

б) Аналогично пункту а), разложим корень на произведение корней:

$\sqrt{81 \cdot 400} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{400}$

Вычисляем значения корней:

$\sqrt{81} = 9$

$\sqrt{400} = 20$

Перемножаем результаты:

$9 \cdot 20 = 180$

Ответ: 180.

в) Снова используем свойство корня из произведения:

$\sqrt{64 \cdot 121} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{121}$

Вычисляем значения корней:

$\sqrt{64} = 8$

$\sqrt{121} = 11$

Перемножаем результаты:

$8 \cdot 11 = 88$

Ответ: 88.

г) Применяем то же свойство для выражения с десятичной дробью:

$\sqrt{144 \cdot 0,25} = \sqrt{144} \cdot \sqrt{0,25}$

Вычисляем значения корней:

$\sqrt{144} = 12$

$\sqrt{0,25} = 0,5$ (так как $0,5 \cdot 0,5 = 0,25$)

Перемножаем результаты:

$12 \cdot 0,5 = 6$

Ответ: 6.

д) Разложим корень на произведение корней:

$\sqrt{0,01 \cdot 169} = \sqrt{0,01} \cdot \sqrt{169}$

Вычисляем значения корней:

$\sqrt{0,01} = 0,1$ (так как $0,1 \cdot 0,1 = 0,01$)

$\sqrt{169} = 13$

Перемножаем результаты:

$0,1 \cdot 13 = 1,3$

Ответ: 1,3.

е) Вычисляем последнее выражение, используя то же свойство:

$\sqrt{2,25 \cdot 0,04} = \sqrt{2,25} \cdot \sqrt{0,04}$

Вычисляем значения корней:

$\sqrt{2,25} = 1,5$ (так как $1,5 \cdot 1,5 = 2,25$)

$\sqrt{0,04} = 0,2$ (так как $0,2 \cdot 0,2 = 0,04$)

Перемножаем результаты:

$1,5 \cdot 0,2 = 0,3$

Ответ: 0,3.

371. Найдите значение корня:

а) $\sqrt{81 \cdot 900}$;

б) $\sqrt{0.36 \cdot 49}$;

в) $\sqrt{12\frac{1}{4}}$;

г) $\sqrt{10\frac{9}{16}}$.

а) Для того чтобы найти значение выражения $\sqrt{81 \cdot 900}$, можно использовать свойство квадратного корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ для неотрицательных $a$ и $b$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$\sqrt{81 \cdot 900} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{900}$

Теперь вычислим значение каждого корня отдельно:

$\sqrt{81} = 9$, так как $9^2 = 81$.

$\sqrt{900} = 30$, так как $30^2 = 900$.

Наконец, перемножим полученные результаты:

$9 \cdot 30 = 270$.

Ответ: $270$.

б) Найдем значение выражения $\sqrt{0,36 \cdot 49}$. Аналогично предыдущему пункту, используем свойство корня из произведения:

$\sqrt{0,36 \cdot 49} = \sqrt{0,36} \cdot \sqrt{49}$

Вычислим каждый корень:

$\sqrt{0,36} = 0,6$, так как $0,6^2 = 0,36$.

$\sqrt{49} = 7$, так как $7^2 = 49$.

Перемножим полученные значения:

$0,6 \cdot 7 = 4,2$.

Ответ: $4,2$.

в) Чтобы найти значение корня из смешанного числа $\sqrt{12\frac{1}{4}}$, первым шагом преобразуем подкоренное выражение в неправильную дробь.

$12\frac{1}{4} = \frac{12 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{48 + 1}{4} = \frac{49}{4}$

Теперь наше выражение имеет вид $\sqrt{\frac{49}{4}}$. Воспользуемся свойством корня из дроби: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ для неотрицательного $a$ и положительного $b$.

$\sqrt{\frac{49}{4}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{4}} = \frac{7}{2}$

Представим результат в виде десятичной дроби:

$\frac{7}{2} = 3,5$.

Ответ: $3,5$.

г) Найдем значение выражения $\sqrt{10\frac{9}{16}}$. Как и в предыдущем примере, сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь.

$10\frac{9}{16} = \frac{10 \cdot 16 + 9}{16} = \frac{160 + 9}{16} = \frac{169}{16}$

Теперь необходимо извлечь корень из дроби $\frac{169}{16}$, используя свойство корня из частного:

$\sqrt{\frac{169}{16}} = \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{16}}$

Вычислим значения корней в числителе и знаменателе:

$\sqrt{169} = 13$, так как $13^2 = 169$.

$\sqrt{16} = 4$, так как $4^2 = 16$.

Таким образом, получаем дробь $\frac{13}{4}$.

Переведем неправильную дробь в десятичную:

$\frac{13}{4} = 3,25$.

Ответ: $3,25$.

373. Найдите значение корня:

а) $\sqrt{0,04 \cdot 81 \cdot 25};$

б) $\sqrt{0,09 \cdot 16 \cdot 0,04};$

в) $\sqrt{1\frac{7}{9} \cdot \frac{4}{25}};$

г) $\sqrt{\frac{121}{144} \cdot 2\frac{1}{4}}.$

а) Для вычисления значения корня $\sqrt{0,04 \cdot 81 \cdot 25}$ сгруппируем множители под корнем для удобства вычислений. Поскольку $0,04 \cdot 25 = 1$, выражение значительно упрощается.
$\sqrt{0,04 \cdot 81 \cdot 25} = \sqrt{(0,04 \cdot 25) \cdot 81} = \sqrt{1 \cdot 81} = \sqrt{81} = 9$.
Ответ: 9

б) Для вычисления $\sqrt{0,09 \cdot 16 \cdot 0,04}$ воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt{a \cdot b \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c}$. Это позволяет извлечь корень из каждого множителя по отдельности, а затем перемножить результаты.
$\sqrt{0,09 \cdot 16 \cdot 0,04} = \sqrt{0,09} \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{0,04} = 0,3 \cdot 4 \cdot 0,2 = 1,2 \cdot 0,2 = 0,24$.
Ответ: 0,24

в) Сначала преобразуем смешанное число $1\frac{7}{9}$ в неправильную дробь: $1\frac{7}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{16}{9}$. Затем используем свойства корня из произведения и частного.
$\sqrt{1\frac{7}{9} \cdot \frac{4}{25}} = \sqrt{\frac{16}{9} \cdot \frac{4}{25}} = \sqrt{\frac{16}{9}} \cdot \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}} \cdot \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{8}{15}$.
Ответ: $\frac{8}{15}$

г) Преобразуем смешанное число $2\frac{1}{4}$ в неправильную дробь: $2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$. Далее применим свойства корня.
$\sqrt{\frac{121}{144} \cdot 2\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{121}{144} \cdot \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{121}{144}} \cdot \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{11}{12} \cdot \frac{3}{2}$.
Перемножим дроби, предварительно сократив $12$ и $3$ на $3$: $\frac{11}{12} \cdot \frac{3}{2} = \frac{11 \cdot 1}{4 \cdot 2} = \frac{11}{8}$.
Ответ: $\frac{11}{8}$