Страница 98 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

408. Вынесите множитель за знак корня и упростите полученное выражение:

а) $ \frac{1}{2}\sqrt{24}; $

б) $ \frac{2}{3}\sqrt{45}; $

в) $ -\frac{1}{7}\sqrt{147}; $

г) $ -\frac{1}{5}\sqrt{275}; $

д) $ 0,1\sqrt{20 000}; $

е) $ -0,05\sqrt{28 800}. $

а)

Чтобы вынести множитель за знак корня в выражении $\frac{1}{2}\sqrt{24}$, нужно представить подкоренное выражение $24$ в виде произведения, где один из множителей является полным квадратом.

Разложим число $24$ на множители: $24 = 4 \cdot 6$. Число $4$ является квадратом числа $2$ ($4=2^2$).

Теперь можно вынести множитель из-под знака корня: $\frac{1}{2}\sqrt{24} = \frac{1}{2}\sqrt{4 \cdot 6} = \frac{1}{2}\sqrt{4} \cdot \sqrt{6} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{6}$.

Упрощаем полученное выражение: $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{6} = 1 \cdot \sqrt{6} = \sqrt{6}$.

Ответ: $\sqrt{6}$.

б)

Рассмотрим выражение $\frac{2}{3}\sqrt{45}$. Разложим подкоренное выражение $45$ на множители так, чтобы один из них был полным квадратом.

$45 = 9 \cdot 5$. Число $9$ является квадратом числа $3$ ($9=3^2$).

Выносим множитель за знак корня: $\frac{2}{3}\sqrt{45} = \frac{2}{3}\sqrt{9 \cdot 5} = \frac{2}{3}\sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = \frac{2}{3} \cdot 3 \cdot \sqrt{5}$.

Упрощаем выражение: $\frac{2}{3} \cdot 3 \cdot \sqrt{5} = 2 \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$.

Ответ: $2\sqrt{5}$.

в)

Упростим выражение $-\frac{1}{7}\sqrt{147}$. Представим число $147$ в виде произведения с множителем, являющимся полным квадратом.

Разложим $147$ на множители. Сумма цифр $1+4+7=12$ делится на $3$, значит и число делится на $3$. $147 = 3 \cdot 49$. Число $49$ является квадратом числа $7$ ($49=7^2$).

Выносим множитель: $-\frac{1}{7}\sqrt{147} = -\frac{1}{7}\sqrt{49 \cdot 3} = -\frac{1}{7}\sqrt{49} \cdot \sqrt{3} = -\frac{1}{7} \cdot 7 \cdot \sqrt{3}$.

Упрощаем: $-\frac{1}{7} \cdot 7 \cdot \sqrt{3} = -1 \cdot \sqrt{3} = -\sqrt{3}$.

Ответ: $-\sqrt{3}$.

г)

Рассмотрим выражение $-\frac{1}{5}\sqrt{275}$. Разложим $275$ на множители.

Число $275$ оканчивается на $5$, значит оно делится на $5$. $275 = 5 \cdot 55 = 5 \cdot 5 \cdot 11 = 25 \cdot 11$. Число $25$ является квадратом числа $5$ ($25=5^2$).

Выносим множитель из-под знака корня: $-\frac{1}{5}\sqrt{275} = -\frac{1}{5}\sqrt{25 \cdot 11} = -\frac{1}{5}\sqrt{25} \cdot \sqrt{11} = -\frac{1}{5} \cdot 5 \cdot \sqrt{11}$.

Упрощаем выражение: $-\frac{1}{5} \cdot 5 \cdot \sqrt{11} = -1 \cdot \sqrt{11} = -\sqrt{11}$.

Ответ: $-\sqrt{11}$.

д)

Упростим выражение $0,1\sqrt{20000}$. Представим $20000$ в виде произведения.

$20000 = 2 \cdot 10000$. Число $10000$ является квадратом числа $100$ ($10000=100^2$).

Выносим множитель: $0,1\sqrt{20000} = 0,1\sqrt{10000 \cdot 2} = 0,1\sqrt{10000} \cdot \sqrt{2} = 0,1 \cdot 100 \cdot \sqrt{2}$.

Упрощаем: $0,1 \cdot 100 \cdot \sqrt{2} = 10\sqrt{2}$.

Ответ: $10\sqrt{2}$.

е)

Рассмотрим выражение $-0,05\sqrt{28800}$. Разложим подкоренное выражение $28800$ на множители.

$28800 = 288 \cdot 100$. Разложим $288$: $288 = 2 \cdot 144$. Число $144$ — это квадрат числа $12$ ($144=12^2$), а $100$ — квадрат числа $10$ ($100=10^2$). Таким образом, $28800 = 144 \cdot 2 \cdot 100$. Можно представить это как $28800 = 14400 \cdot 2$, где $\sqrt{14400} = \sqrt{144 \cdot 100} = \sqrt{144} \cdot \sqrt{100} = 12 \cdot 10 = 120$.

Выносим множитель за знак корня: $-0,05\sqrt{28800} = -0,05\sqrt{14400 \cdot 2} = -0,05\sqrt{14400} \cdot \sqrt{2} = -0,05 \cdot 120 \cdot \sqrt{2}$.

Упрощаем выражение, умножая коэффициенты: $-0,05 \cdot 120 = -\frac{5}{100} \cdot 120 = -\frac{1}{20} \cdot 120 = -6$. Итого: $-6\sqrt{2}$.

Ответ: $-6\sqrt{2}$.

410. Внесите множитель под знак корня:

а) $7\sqrt{10}$;

б) $5\sqrt{3}$;

в) $6\sqrt{x}$;

г) $10\sqrt{y}$;

д) $3\sqrt{2a}$;

е) $5\sqrt{3b}$.

а) Чтобы внести множитель 7 под знак корня в выражении $7\sqrt{10}$, необходимо возвести множитель 7 в квадрат и результат умножить на подкоренное выражение 10. Это основано на свойстве $c\sqrt{d} = \sqrt{c^2d}$ для $c \ge 0$.
$7\sqrt{10} = \sqrt{7^2 \cdot 10} = \sqrt{49 \cdot 10} = \sqrt{490}$.
Ответ: $\sqrt{490}$

б) Аналогично, для выражения $5\sqrt{3}$ вносим множитель 5 под знак корня. Возводим 5 в квадрат и умножаем на 3.
$5\sqrt{3} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75}$.
Ответ: $\sqrt{75}$

в) Для выражения $6\sqrt{x}$ вносим множитель 6 под знак корня. Данное преобразование корректно при условии, что подкоренное выражение неотрицательно, то есть $x \ge 0$.
$6\sqrt{x} = \sqrt{6^2 \cdot x} = \sqrt{36x}$.
Ответ: $\sqrt{36x}$

г) В выражении $10\sqrt{y}$ вносим множитель 10 под знак корня. Предполагается, что $y \ge 0$.
$10\sqrt{y} = \sqrt{10^2 \cdot y} = \sqrt{100y}$.
Ответ: $\sqrt{100y}$

д) Для выражения $3\sqrt{2a}$ вносим множитель 3 под знак корня. Чтобы выражение имело смысл, должно выполняться условие $2a \ge 0$, то есть $a \ge 0$.
$3\sqrt{2a} = \sqrt{3^2 \cdot 2a} = \sqrt{9 \cdot 2a} = \sqrt{18a}$.
Ответ: $\sqrt{18a}$

е) В выражении $5\sqrt{3b}$ вносим множитель 5 под знак корня. Условие существования корня: $3b \ge 0$, то есть $b \ge 0$.
$5\sqrt{3b} = \sqrt{5^2 \cdot 3b} = \sqrt{25 \cdot 3b} = \sqrt{75b}$.
Ответ: $\sqrt{75b}$

407. Вынесите множитель за знак корня:

а) $\sqrt{12}$;

б) $\sqrt{18}$;

в) $\sqrt{80}$;

г) $\sqrt{48}$;

д) $\sqrt{125}$;

е) $\sqrt{108}$;

ж) $\sqrt{363}$;

з) $\sqrt{845}$.

а) Чтобы вынести множитель из-под знака корня $\sqrt{12}$, необходимо разложить подкоренное выражение 12 на множители таким образом, чтобы один из них был полным квадратом. Наибольшим таким множителем является 4.
Представим 12 как произведение $4 \cdot 3$.
Используя свойство корня $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, получаем:
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.
Ответ: $2\sqrt{3}$

б) Для выражения $\sqrt{18}$ разложим число 18 на множители. Наибольший множитель, являющийся полным квадратом, это 9.
Представим 18 как $9 \cdot 2$.
Тогда:
$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.
Ответ: $3\sqrt{2}$

в) Разложим подкоренное выражение 80 на множители, выделив наибольший полный квадрат. $80 = 16 \cdot 5$.
Число 16 является квадратом числа 4.
Следовательно:
$\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{5} = 4\sqrt{5}$.
Ответ: $4\sqrt{5}$

г) Разложим число 48 на множители. Наибольший множитель, являющийся полным квадратом, это 16. $48 = 16 \cdot 3$.
Применим свойство корня:
$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.
Ответ: $4\sqrt{3}$

д) Разложим число 125 на множители. Наибольший множитель, являющийся полным квадратом, это 25. $125 = 25 \cdot 5$.
Вынесем множитель за знак корня:
$\sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{5} = 5\sqrt{5}$.
Ответ: $5\sqrt{5}$

е) Разложим число 108 на множители. Наибольший множитель, являющийся полным квадратом, это 36. $108 = 36 \cdot 3$.
Выполним преобразование:
$\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3}$.
Ответ: $6\sqrt{3}$

ж) Разложим число 363 на множители. Сумма цифр числа $3+6+3=12$ делится на 3, значит, число 363 делится на 3. $363 = 3 \cdot 121$.
Множитель 121 является полным квадратом числа 11.
Таким образом:
$\sqrt{363} = \sqrt{121 \cdot 3} = \sqrt{121} \cdot \sqrt{3} = 11\sqrt{3}$.
Ответ: $11\sqrt{3}$

з) Разложим число 845 на множители. Так как число оканчивается на 5, оно делится на 5. $845 = 5 \cdot 169$.
Множитель 169 является полным квадратом числа 13.
Следовательно:
$\sqrt{845} = \sqrt{169 \cdot 5} = \sqrt{169} \cdot \sqrt{5} = 13\sqrt{5}$.
Ответ: $13\sqrt{5}$

409. Вынесите множитель за знак корня:

а) $\sqrt{20}$; в) $\sqrt{200}$; д) $0,2\sqrt{75}$; ж) $-0,125\sqrt{192}$;

б) $\sqrt{98}$; г) $\sqrt{160}$; е) $0,7\sqrt{300}$; з) $-\frac{1}{3}\sqrt{450}$.

а) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{20}$, нужно представить подкоренное выражение в виде произведения, в котором один из множителей является наибольшим возможным квадратом целого числа. Разложим число 20 на множители: $20 = 4 \times 5$. Число 4 является полным квадратом ($4=2^2$).
Используем свойство корня $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$:
$\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = \sqrt{4} \times \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$.
Ответ: $2\sqrt{5}$

б) Для выражения $\sqrt{98}$ найдем наибольший делитель, являющийся полным квадратом. Разложим 98 на множители: $98 = 2 \times 49$. Число 49 является квадратом числа 7 ($49=7^2$).
Следовательно:
$\sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = \sqrt{49} \times \sqrt{2} = 7\sqrt{2}$.
Ответ: $7\sqrt{2}$

в) Рассмотрим выражение $\sqrt{200}$. Представим число 200 в виде произведения. Наибольший делитель, являющийся полным квадратом, это 100 ($100=10^2$).
$200 = 100 \times 2$.
Тогда:
$\sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} = \sqrt{100} \times \sqrt{2} = 10\sqrt{2}$.
Ответ: $10\sqrt{2}$

г) В выражении $\sqrt{160}$ нужно вынести множитель за знак корня. Разложим 160 на множители: $160 = 16 \times 10$. Число 16 является квадратом числа 4 ($16=4^2$), а число 10 не содержит полных квадратов в качестве множителей.
Получаем:
$\sqrt{160} = \sqrt{16 \times 10} = \sqrt{16} \times \sqrt{10} = 4\sqrt{10}$.
Ответ: $4\sqrt{10}$

д) В выражении $0,2\sqrt{75}$ сначала упростим корень $\sqrt{75}$. Разложим 75 на множители: $75 = 25 \times 3$. Число 25 является квадратом числа 5 ($25=5^2$).
$\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$0,2\sqrt{75} = 0,2 \times (5\sqrt{3}) = (0,2 \times 5)\sqrt{3} = 1\sqrt{3} = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$

е) Для выражения $0,7\sqrt{300}$ упростим $\sqrt{300}$. Разложим 300 на множители: $300 = 100 \times 3$. Число 100 является квадратом числа 10 ($100=10^2$).
$\sqrt{300} = \sqrt{100 \times 3} = \sqrt{100} \times \sqrt{3} = 10\sqrt{3}$.
Подставим обратно в выражение:
$0,7\sqrt{300} = 0,7 \times (10\sqrt{3}) = (0,7 \times 10)\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$.
Ответ: $7\sqrt{3}$

ж) В выражении $-0,125\sqrt{192}$ упростим корень $\sqrt{192}$. Разложим 192 на простые множители: $192 = 2 \times 96 = 2 \times 2 \times 48 = 4 \times 16 \times 3 = 64 \times 3$. Число 64 является квадратом числа 8 ($64=8^2$).
$\sqrt{192} = \sqrt{64 \times 3} = \sqrt{64} \times \sqrt{3} = 8\sqrt{3}$.
Подставим в исходное выражение. Заметим, что $0,125 = \frac{1}{8}$.
$-0,125\sqrt{192} = -0,125 \times (8\sqrt{3}) = (-0,125 \times 8)\sqrt{3} = -1\sqrt{3} = -\sqrt{3}$.
Ответ: $-\sqrt{3}$

з) Рассмотрим выражение $-\frac{1}{3}\sqrt{450}$. Упростим корень $\sqrt{450}$. Разложим 450 на множители: $450 = 45 \times 10 = (9 \times 5) \times (2 \times 5) = 9 \times 25 \times 2 = 225 \times 2$. Число 225 является квадратом числа 15 ($225=15^2$).
$\sqrt{450} = \sqrt{225 \times 2} = \sqrt{225} \times \sqrt{2} = 15\sqrt{2}$.
Подставим в исходное выражение:
$-\frac{1}{3}\sqrt{450} = -\frac{1}{3} \times (15\sqrt{2}) = (-\frac{1}{3} \times 15)\sqrt{2} = -\frac{15}{3}\sqrt{2} = -5\sqrt{2}$.
Ответ: $-5\sqrt{2}$

411. Верно ли утверждение:

а) выражение $\sqrt{2\sqrt{17}-4}$ не имеет смысла;

б) выражение $\sqrt{7\sqrt{2}-6\sqrt{3}}$ не имеет смысла;

в) выражение $\sqrt{8\sqrt{3}-14}$ не имеет смысла;

г) выражение $\sqrt{2\sqrt{2}-\sqrt{7}}$ не имеет смысла?

а) Выражение $\sqrt{A}$ имеет смысл (в области действительных чисел), если подкоренное выражение $A$ неотрицательно, то есть $A \geq 0$. В данном случае нужно проверить знак выражения $2\sqrt{17} - 4$.
Сравним $2\sqrt{17}$ и $4$. Так как оба числа положительные, мы можем сравнить их квадраты:
$(2\sqrt{17})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{17})^2 = 4 \cdot 17 = 68$
$4^2 = 16$
Поскольку $68 > 16$, то $2\sqrt{17} > 4$. Следовательно, $2\sqrt{17} - 4 > 0$.
Подкоренное выражение положительно, значит, выражение $\sqrt{2\sqrt{17} - 4}$ имеет смысл. Утверждение о том, что оно не имеет смысла, неверно.
Ответ: неверно.

б) Проверим знак подкоренного выражения $7\sqrt{2} - 6\sqrt{3}$. Для этого сравним $7\sqrt{2}$ и $6\sqrt{3}$. Возведем оба положительных числа в квадрат:
$(7\sqrt{2})^2 = 7^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 49 \cdot 2 = 98$
$(6\sqrt{3})^2 = 6^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 36 \cdot 3 = 108$
Так как $98 < 108$, то $7\sqrt{2} < 6\sqrt{3}$. Следовательно, разность $7\sqrt{2} - 6\sqrt{3}$ отрицательна.
Поскольку подкоренное выражение отрицательно, выражение $\sqrt{7\sqrt{2} - 6\sqrt{3}}$ не имеет смысла в действительных числах. Утверждение верно.
Ответ: верно.

в) Проверим знак подкоренного выражения $8\sqrt{3} - 14$. Для этого сравним $8\sqrt{3}$ и $14$. Возведем оба положительных числа в квадрат:
$(8\sqrt{3})^2 = 8^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 64 \cdot 3 = 192$
$14^2 = 196$
Так как $192 < 196$, то $8\sqrt{3} < 14$. Следовательно, разность $8\sqrt{3} - 14$ отрицательна.
Поскольку подкоренное выражение отрицательно, выражение $\sqrt{8\sqrt{3} - 14}$ не имеет смысла в действительных числах. Утверждение верно.
Ответ: верно.

г) Проверим знак подкоренного выражения $2\sqrt{2} - \sqrt{7}$. Для этого сравним $2\sqrt{2}$ и $\sqrt{7}$. Возведем оба положительных числа в квадрат:
$(2\sqrt{2})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$
$(\sqrt{7})^2 = 7$
Так как $8 > 7$, то $2\sqrt{2} > \sqrt{7}$. Следовательно, разность $2\sqrt{2} - \sqrt{7}$ положительна.
Поскольку подкоренное выражение положительно, выражение $\sqrt{2\sqrt{2} - \sqrt{7}}$ имеет смысл. Утверждение о том, что оно не имеет смысла, неверно.
Ответ: неверно.