Номер 408, страница 98 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

18. Вынесение множителя за знак корня. Внесение множителя под знак корня. § 7. Применение свойств арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 408, страница 98.

408. Вынесите множитель за знак корня и упростите полученное выражение:

а) $ \frac{1}{2}\sqrt{24}; $

б) $ \frac{2}{3}\sqrt{45}; $

в) $ -\frac{1}{7}\sqrt{147}; $

г) $ -\frac{1}{5}\sqrt{275}; $

д) $ 0,1\sqrt{20 000}; $

е) $ -0,05\sqrt{28 800}. $

а)

Чтобы вынести множитель за знак корня в выражении $\frac{1}{2}\sqrt{24}$, нужно представить подкоренное выражение $24$ в виде произведения, где один из множителей является полным квадратом.

Разложим число $24$ на множители: $24 = 4 \cdot 6$. Число $4$ является квадратом числа $2$ ($4=2^2$).

Теперь можно вынести множитель из-под знака корня: $\frac{1}{2}\sqrt{24} = \frac{1}{2}\sqrt{4 \cdot 6} = \frac{1}{2}\sqrt{4} \cdot \sqrt{6} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{6}$.

Упрощаем полученное выражение: $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{6} = 1 \cdot \sqrt{6} = \sqrt{6}$.

Ответ: $\sqrt{6}$.

б)

Рассмотрим выражение $\frac{2}{3}\sqrt{45}$. Разложим подкоренное выражение $45$ на множители так, чтобы один из них был полным квадратом.

$45 = 9 \cdot 5$. Число $9$ является квадратом числа $3$ ($9=3^2$).

Выносим множитель за знак корня: $\frac{2}{3}\sqrt{45} = \frac{2}{3}\sqrt{9 \cdot 5} = \frac{2}{3}\sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = \frac{2}{3} \cdot 3 \cdot \sqrt{5}$.

Упрощаем выражение: $\frac{2}{3} \cdot 3 \cdot \sqrt{5} = 2 \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$.

Ответ: $2\sqrt{5}$.

в)

Упростим выражение $-\frac{1}{7}\sqrt{147}$. Представим число $147$ в виде произведения с множителем, являющимся полным квадратом.

Разложим $147$ на множители. Сумма цифр $1+4+7=12$ делится на $3$, значит и число делится на $3$. $147 = 3 \cdot 49$. Число $49$ является квадратом числа $7$ ($49=7^2$).

Выносим множитель: $-\frac{1}{7}\sqrt{147} = -\frac{1}{7}\sqrt{49 \cdot 3} = -\frac{1}{7}\sqrt{49} \cdot \sqrt{3} = -\frac{1}{7} \cdot 7 \cdot \sqrt{3}$.

Упрощаем: $-\frac{1}{7} \cdot 7 \cdot \sqrt{3} = -1 \cdot \sqrt{3} = -\sqrt{3}$.

Ответ: $-\sqrt{3}$.

г)

Рассмотрим выражение $-\frac{1}{5}\sqrt{275}$. Разложим $275$ на множители.

Число $275$ оканчивается на $5$, значит оно делится на $5$. $275 = 5 \cdot 55 = 5 \cdot 5 \cdot 11 = 25 \cdot 11$. Число $25$ является квадратом числа $5$ ($25=5^2$).

Выносим множитель из-под знака корня: $-\frac{1}{5}\sqrt{275} = -\frac{1}{5}\sqrt{25 \cdot 11} = -\frac{1}{5}\sqrt{25} \cdot \sqrt{11} = -\frac{1}{5} \cdot 5 \cdot \sqrt{11}$.

Упрощаем выражение: $-\frac{1}{5} \cdot 5 \cdot \sqrt{11} = -1 \cdot \sqrt{11} = -\sqrt{11}$.

Ответ: $-\sqrt{11}$.

д)

Упростим выражение $0,1\sqrt{20000}$. Представим $20000$ в виде произведения.

$20000 = 2 \cdot 10000$. Число $10000$ является квадратом числа $100$ ($10000=100^2$).

Выносим множитель: $0,1\sqrt{20000} = 0,1\sqrt{10000 \cdot 2} = 0,1\sqrt{10000} \cdot \sqrt{2} = 0,1 \cdot 100 \cdot \sqrt{2}$.

Упрощаем: $0,1 \cdot 100 \cdot \sqrt{2} = 10\sqrt{2}$.

Ответ: $10\sqrt{2}$.

е)

Рассмотрим выражение $-0,05\sqrt{28800}$. Разложим подкоренное выражение $28800$ на множители.

$28800 = 288 \cdot 100$. Разложим $288$: $288 = 2 \cdot 144$. Число $144$ — это квадрат числа $12$ ($144=12^2$), а $100$ — квадрат числа $10$ ($100=10^2$). Таким образом, $28800 = 144 \cdot 2 \cdot 100$. Можно представить это как $28800 = 14400 \cdot 2$, где $\sqrt{14400} = \sqrt{144 \cdot 100} = \sqrt{144} \cdot \sqrt{100} = 12 \cdot 10 = 120$.

Выносим множитель за знак корня: $-0,05\sqrt{28800} = -0,05\sqrt{14400 \cdot 2} = -0,05\sqrt{14400} \cdot \sqrt{2} = -0,05 \cdot 120 \cdot \sqrt{2}$.

Упрощаем выражение, умножая коэффициенты: $-0,05 \cdot 120 = -\frac{5}{100} \cdot 120 = -\frac{1}{20} \cdot 120 = -6$. Итого: $-6\sqrt{2}$.

Ответ: $-6\sqrt{2}$.