Номер 414, страница 99 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

18. Вынесение множителя за знак корня. Внесение множителя под знак корня. § 7. Применение свойств арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 414, страница 99.

414. Сравните значения выражений:

a) $3\sqrt{3}$ и $\sqrt{12}$;

б) $\sqrt{20}$ и $3\sqrt{5}$;

в) $5\sqrt{4}$ и $4\sqrt{5}$;

г) $2\sqrt{5}$ и $3\sqrt{2}$;

д) $-\sqrt{14}$ и $-3\sqrt{2}$;

е) $-7\sqrt{0,17}$ и $-11\sqrt{0,05}$.

а) Чтобы сравнить $3\sqrt{3}$ и $\sqrt{12}$, приведем оба выражения к виду, где все числа находятся под знаком корня. Для этого внесем множитель 3 под знак корня в первом выражении.

$3\sqrt{3} = \sqrt{3^2 \cdot 3} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{27}$.

Теперь сравним полученное выражение $\sqrt{27}$ с $\sqrt{12}$.

Поскольку оба числа положительные, а $27 > 12$, то и $\sqrt{27} > \sqrt{12}$.

Следовательно, $3\sqrt{3} > \sqrt{12}$.

Ответ: $3\sqrt{3} > \sqrt{12}$.

б) Чтобы сравнить $\sqrt{20}$ и $3\sqrt{5}$, внесем множитель 3 под знак корня во втором выражении.

$3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$.

Теперь сравним $\sqrt{20}$ и $\sqrt{45}$.

Так как $20 < 45$, и оба числа положительные, то $\sqrt{20} < \sqrt{45}$.

Следовательно, $\sqrt{20} < 3\sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{20} < 3\sqrt{5}$.

в) Чтобы сравнить $5\sqrt{4}$ и $4\sqrt{5}$, внесем множители перед корнями под знак корня в обоих выражениях.

$5\sqrt{4} = \sqrt{5^2 \cdot 4} = \sqrt{25 \cdot 4} = \sqrt{100}$.

$4\sqrt{5} = \sqrt{4^2 \cdot 5} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{80}$.

Теперь сравним $\sqrt{100}$ и $\sqrt{80}$.

Так как $100 > 80$, то $\sqrt{100} > \sqrt{80}$.

Следовательно, $5\sqrt{4} > 4\sqrt{5}$.

Ответ: $5\sqrt{4} > 4\sqrt{5}$.

г) Чтобы сравнить $2\sqrt{5}$ и $3\sqrt{2}$, внесем множители под знаки корней.

$2\sqrt{5} = \sqrt{2^2 \cdot 5} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{20}$.

$3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$.

Теперь сравним $\sqrt{20}$ и $\sqrt{18}$.

Так как $20 > 18$, то $\sqrt{20}