Номер 415, страница 99 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

18. Вынесение множителя за знак корня. Внесение множителя под знак корня. § 7. Применение свойств арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 415, страница 99.

415. Сравните значения выражений:

a) $\frac{1}{3}\sqrt{351}$ и $\frac{1}{2}\sqrt{188}$;

б) $\frac{1}{3}\sqrt{54}$ и $\frac{1}{5}\sqrt{150}$;

в) $\sqrt{24}$ и $\frac{1}{3}\sqrt{216}$;

г) $\frac{2}{3}\sqrt{72}$ и $7\sqrt{\frac{2}{3}}$.

а) Чтобы сравнить значения выражений, удобно привести их к виду $\sqrt{A}$ и $\sqrt{B}$ и затем сравнить числа $A$ и $B$. Для этого внесем множитель перед корнем под знак корня, предварительно возведя его в квадрат.

Первое выражение: $\frac{1}{3}\sqrt{351} = \sqrt{(\frac{1}{3})^2 \cdot 351} = \sqrt{\frac{1}{9} \cdot 351} = \sqrt{\frac{351}{9}} = \sqrt{39}$.

Второе выражение: $\frac{1}{2}\sqrt{188} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 \cdot 188} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 188} = \sqrt{\frac{188}{4}} = \sqrt{47}$.

Теперь сравним полученные подкоренные выражения: $39$ и $47$.

Так как $39 < 47$, то и $\sqrt{39} < \sqrt{47}$.

Следовательно, $\frac{1}{3}\sqrt{351} < \frac{1}{2}\sqrt{188}$.

Ответ: $\frac{1}{3}\sqrt{351} < \frac{1}{2}\sqrt{188}$.

б) Сравним выражения $\frac{1}{3}\sqrt{54}$ и $\frac{1}{5}\sqrt{150}$. Внесем множители под знак корня.

Первое выражение: $\frac{1}{3}\sqrt{54} = \sqrt{(\frac{1}{3})^2 \cdot 54} = \sqrt{\frac{1}{9} \cdot 54} = \sqrt{\frac{54}{9}} = \sqrt{6}$.

Второе выражение: $\frac{1}{5}\sqrt{150} = \sqrt{(\frac{1}{5})^2 \cdot 150} = \sqrt{\frac{1}{25} \cdot 150} = \sqrt{\frac{150}{25}} = \sqrt{6}$.

Полученные значения равны.

Следовательно, $\frac{1}{3}\sqrt{54} = \frac{1}{5}\sqrt{150}$.

Ответ: $\frac{1}{3}\sqrt{54} = \frac{1}{5}\sqrt{150}$.

в) Сравним выражения $\sqrt{24}$ и $\frac{1}{3}\sqrt{216}$.

Преобразуем второе выражение, внеся множитель под знак корня:

$\frac{1}{3}\sqrt{216} = \sqrt{(\frac{1}{3})^2 \cdot 216} = \sqrt{\frac{1}{9} \cdot 216} = \sqrt{\frac{216}{9}} = \sqrt{24}$.

Сравниваем $\sqrt{24}$ и $\sqrt{24}$. Значения равны.

Следовательно, $\sqrt{24} = \frac{1}{3}\sqrt{216}$.

Ответ: $\sqrt{24} = \frac{1}{3}\sqrt{216}$.

г) Сравним выражения $\frac{2}{3}\sqrt{72}$ и $7\sqrt{\frac{2}{3}}$.

Внесем множители под знак корня для обоих выражений.

Первое выражение: $\frac{2}{3}\sqrt{72} = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 \cdot 72} = \sqrt{\frac{4}{9} \cdot 72} = \sqrt{4 \cdot \frac{72}{9}} = \sqrt{4 \cdot 8} = \sqrt{32}$.

Второе выражение: $7\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{7^2 \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{49 \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{98}{3}}$.

Теперь сравним подкоренные выражения: $32$ и $\frac{98}{3}$.

Для сравнения представим $32$ в виде дроби со знаменателем $3$: $32 = \frac{32 \cdot 3}{3} = \frac{96}{3}$.

Сравниваем дроби $\frac{96}{3}$ и $\frac{98}{3}$. Так как $96 < 98$, то $\frac{96}{3} < \frac{98}{3}$.

Это означает, что $32 < \frac{98}{3}$, и, следовательно, $\sqrt{32} < \sqrt{\frac{98}{3}}$.

Таким образом, $\frac{2}{3}\sqrt{72} < 7\sqrt{\frac{2}{3}}$.

Ответ: $\frac{2}{3}\sqrt{72} < 7\sqrt{\frac{2}{3}}$.