Номер 416, страница 99 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

18. Вынесение множителя за знак корня. Внесение множителя под знак корня. § 7. Применение свойств арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 416, страница 99.

416. Расположите в порядке возрастания числа:

a) $3\sqrt{3}$, $2\sqrt{6}$, $\sqrt{29}$, $4\sqrt{2}$, $2\sqrt{11}$;

б) $6\sqrt{2}$, $\sqrt{58}$, $3\sqrt{7}$, $2\sqrt{14}$, $5\sqrt{3}$;

В) $-\sqrt{11}$, $-2\sqrt{5}$, $\sqrt{2}$, $-2\sqrt{6}$, $-\sqrt{51}$;

Г) $-\sqrt{83}$, $-9\sqrt{2}$, $-\sqrt{17}$, $-5\sqrt{8}$, $-\frac{1}{3}\sqrt{18}$.

а)

Чтобы расположить числа $3\sqrt{3}, 2\sqrt{6}, \sqrt{29}, 4\sqrt{2}, 2\sqrt{11}$ в порядке возрастания, сравним их квадраты. Так как все числа положительные, то чем больше квадрат числа, тем больше само число. Вычислим квадраты каждого числа:
$(3\sqrt{3})^2 = 3^2 \cdot 3 = 9 \cdot 3 = 27$
$(2\sqrt{6})^2 = 2^2 \cdot 6 = 4 \cdot 6 = 24$
$(\sqrt{29})^2 = 29$
$(4\sqrt{2})^2 = 4^2 \cdot 2 = 16 \cdot 2 = 32$
$(2\sqrt{11})^2 = 2^2 \cdot 11 = 4 \cdot 11 = 44$
Расположим полученные квадраты в порядке возрастания: $24 < 27 < 29 < 32 < 44$. Этому порядку соответствуют исходные числа: $2\sqrt{6} < 3\sqrt{3} < \sqrt{29} < 4\sqrt{2} < 2\sqrt{11}$.

Ответ: $2\sqrt{6}, 3\sqrt{3}, \sqrt{29}, 4\sqrt{2}, 2\sqrt{11}$.

б)

Сравним числа $6\sqrt{2}, \sqrt{58}, 3\sqrt{7}, 2\sqrt{14}, 5\sqrt{3}$ путем возведения их в квадрат:
$(6\sqrt{2})^2 = 6^2 \cdot 2 = 36 \cdot 2 = 72$
$(\sqrt{58})^2 = 58$
$(3\sqrt{7})^2 = 3^2 \cdot 7 = 9 \cdot 7 = 63$
$(2\sqrt{14})^2 = 2^2 \cdot 14 = 4 \cdot 14 = 56$
$(5\sqrt{3})^2 = 5^2 \cdot 3 = 25 \cdot 3 = 75$
Расположим квадраты в порядке возрастания: $56 < 58 < 63 < 72 < 75$. Соответственно, исходные числа в порядке возрастания: $2\sqrt{14} < \sqrt{58} < 3\sqrt{7} < 6\sqrt{2} < 5\sqrt{3}$.

Ответ: $2\sqrt{14}, \sqrt{58}, 3\sqrt{7}, 6\sqrt{2}, 5\sqrt{3}$.

в)

В наборе чисел $-\sqrt{11}, -2\sqrt{5}, \sqrt{2}, -2\sqrt{6}, -\sqrt{51}$ есть одно положительное число $\sqrt{2}$, которое будет наибольшим. Остальные числа отрицательные. Чтобы сравнить отрицательные числа, сравним их модули. Чем больше модуль отрицательного числа, тем оно меньше. Найдем квадраты модулей:
$|-\sqrt{11}|^2 = (\sqrt{11})^2 = 11$
$|-2\sqrt{5}|^2 = (2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$
$|-2\sqrt{6}|^2 = (2\sqrt{6})^2 = 4 \cdot 6 = 24$
$|-\sqrt{51}|^2 = (\sqrt{51})^2 = 51$
Расположим квадраты модулей в порядке возрастания: $11 < 20 < 24 < 51$. Этому соответствует порядок модулей: $\sqrt{11} < 2\sqrt{5} < 2\sqrt{6} < \sqrt{51}$. Для отрицательных чисел порядок будет обратным: $-\sqrt{51} < -2\sqrt{6} < -2\sqrt{5} < -\sqrt{11}$. Добавив положительное число, получаем окончательный порядок.

Ответ: $-\sqrt{51}, -2\sqrt{6}, -2\sqrt{5}, -\sqrt{11}, \sqrt{2}$.

г)

Все числа в наборе $-\sqrt{83}, -9\sqrt{2}, -\sqrt{17}, -5\sqrt{8}, -\frac{1}{3}\sqrt{18}$ отрицательные. Сравним их по модулю, возведя модули в квадрат. Чем больше модуль, тем меньше само отрицательное число.
$|-\sqrt{83}|^2 = 83$
$|-9\sqrt{2}|^2 = (9\sqrt{2})^2 = 81 \cdot 2 = 162$
$|-\sqrt{17}|^2 = 17$
$|-5\sqrt{8}|^2 = (5\sqrt{8})^2 = 25 \cdot 8 = 200$
$|-\frac{1}{3}\sqrt{18}|^2 = (\frac{1}{3}\sqrt{18})^2 = \frac{1}{9} \cdot 18 = 2$
Расположим квадраты модулей в порядке возрастания: $2 < 17 < 83 < 162 < 200$. Этому соответствует порядок модулей: $\frac{1}{3}\sqrt{18} < \sqrt{17} < \sqrt{83} < 9\sqrt{2} < 5\sqrt{8}$. Так как числа отрицательные, их порядок будет обратным.

Ответ: $-5\sqrt{8}, -9\sqrt{2}, -\sqrt{83}, -\sqrt{17}, -\frac{1}{3}\sqrt{18}$.