Номер 411, страница 98 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

18. Вынесение множителя за знак корня. Внесение множителя под знак корня. § 7. Применение свойств арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 411, страница 98.

411. Верно ли утверждение:

а) выражение $\sqrt{2\sqrt{17}-4}$ не имеет смысла;

б) выражение $\sqrt{7\sqrt{2}-6\sqrt{3}}$ не имеет смысла;

в) выражение $\sqrt{8\sqrt{3}-14}$ не имеет смысла;

г) выражение $\sqrt{2\sqrt{2}-\sqrt{7}}$ не имеет смысла?

а) Выражение $\sqrt{A}$ имеет смысл (в области действительных чисел), если подкоренное выражение $A$ неотрицательно, то есть $A \geq 0$. В данном случае нужно проверить знак выражения $2\sqrt{17} - 4$.
Сравним $2\sqrt{17}$ и $4$. Так как оба числа положительные, мы можем сравнить их квадраты:
$(2\sqrt{17})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{17})^2 = 4 \cdot 17 = 68$
$4^2 = 16$
Поскольку $68 > 16$, то $2\sqrt{17} > 4$. Следовательно, $2\sqrt{17} - 4 > 0$.
Подкоренное выражение положительно, значит, выражение $\sqrt{2\sqrt{17} - 4}$ имеет смысл. Утверждение о том, что оно не имеет смысла, неверно.
Ответ: неверно.

б) Проверим знак подкоренного выражения $7\sqrt{2} - 6\sqrt{3}$. Для этого сравним $7\sqrt{2}$ и $6\sqrt{3}$. Возведем оба положительных числа в квадрат:
$(7\sqrt{2})^2 = 7^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 49 \cdot 2 = 98$
$(6\sqrt{3})^2 = 6^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 36 \cdot 3 = 108$
Так как $98 < 108$, то $7\sqrt{2} < 6\sqrt{3}$. Следовательно, разность $7\sqrt{2} - 6\sqrt{3}$ отрицательна.
Поскольку подкоренное выражение отрицательно, выражение $\sqrt{7\sqrt{2} - 6\sqrt{3}}$ не имеет смысла в действительных числах. Утверждение верно.
Ответ: верно.

в) Проверим знак подкоренного выражения $8\sqrt{3} - 14$. Для этого сравним $8\sqrt{3}$ и $14$. Возведем оба положительных числа в квадрат:
$(8\sqrt{3})^2 = 8^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 64 \cdot 3 = 192$
$14^2 = 196$
Так как $192 < 196$, то $8\sqrt{3} < 14$. Следовательно, разность $8\sqrt{3} - 14$ отрицательна.
Поскольку подкоренное выражение отрицательно, выражение $\sqrt{8\sqrt{3} - 14}$ не имеет смысла в действительных числах. Утверждение верно.
Ответ: верно.

г) Проверим знак подкоренного выражения $2\sqrt{2} - \sqrt{7}$. Для этого сравним $2\sqrt{2}$ и $\sqrt{7}$. Возведем оба положительных числа в квадрат:
$(2\sqrt{2})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$
$(\sqrt{7})^2 = 7$
Так как $8 > 7$, то $2\sqrt{2} > \sqrt{7}$. Следовательно, разность $2\sqrt{2} - \sqrt{7}$ положительна.
Поскольку подкоренное выражение положительно, выражение $\sqrt{2\sqrt{2} - \sqrt{7}}$ имеет смысл. Утверждение о том, что оно не имеет смысла, неверно.
Ответ: неверно.