Номер 3, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 6. Свойства арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 3, страница 96.

3 Докажите тождество $\sqrt{x^2} = |x|$.

Для доказательства тождества $\sqrt{x^2} = |x|$ необходимо показать, что равенство верно для всех действительных значений $x$. Доказательство основывается на определении арифметического квадратного корня и определении модуля числа.

По определению, арифметический квадратный корень из неотрицательного числа $a$ (обозначается $\sqrt{a}$) — это такое неотрицательное число $b$, что $b^2 = a$. Ключевым моментом здесь является то, что результат извлечения корня ($\sqrt{a}$) не может быть отрицательным.

Рассмотрим два возможных случая для переменной $x$.

1. Пусть $x \ge 0$ (x — неотрицательное число).

В этом случае, по определению модуля числа, $|x| = x$.

Теперь рассмотрим левую часть равенства, $\sqrt{x^2}$. Нам нужно найти такое неотрицательное число, квадрат которого равен $x^2$. Поскольку $x$ уже является неотрицательным числом ($x \ge 0$), то оно и есть искомый корень.

Таким образом, при $x \ge 0$, $\sqrt{x^2} = x$.

Сравнивая левую и правую части исходного тождества, получаем:

Левая часть: $\sqrt{x^2} = x$.

Правая часть: $|x| = x$.

Так как $x = x$, тождество для случая $x \ge 0$ верно.

2. Пусть $x < 0$ (x — отрицательное число).

В этом случае, по определению модуля числа, $|x| = -x$. (Например, если $x=-3$, то $|-3| = -(-3) = 3$). Обратите внимание, что если $x$ отрицательно, то $-x$ — положительное число.

Теперь рассмотрим левую часть, $\sqrt{x^2}$. Возведение отрицательного числа в квадрат дает положительный результат. Например, если $x=-5$, то $x^2 = (-5)^2 = 25$. Тогда $\sqrt{x^2} = \sqrt{25} = 5$. Заметим, что $5 = -(-5)$, то есть $5 = -x$.

В общем виде, для отрицательного $x$, нам нужно найти неотрицательное число, квадрат которого равен $x^2$. Этим числом является $-x$, так как $-x > 0$ и $(-x)^2 = x^2$.

Таким образом, при $x < 0$, $\sqrt{x^2} = -x$.

Сравнивая левую и правую части исходного тождества, получаем:

Левая часть: $\sqrt{x^2} = -x$.

Правая часть: $|x| = -x$.

Так как $-x = -x$, тождество для случая $x < 0$ также верно.

Вывод

Мы показали, что равенство $\sqrt{x^2} = |x|$ выполняется как для $x \ge 0$, так и для $x < 0$. Следовательно, оно справедливо для всех действительных чисел $x$, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество $\sqrt{x^2} = |x|$ доказано путем рассмотрения двух случаев: $x \ge 0$ и $x < 0$. В обоих случаях левая и правая части равенства оказываются равными.