Номер 2, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 6. Свойства арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 2, страница 96.

2. Сформулируйте и докажите теорему о квадратном корне из дроби.

Формулировка теоремы

Если числитель дроби $a$ является неотрицательным числом ($a \ge 0$), а знаменатель $b$ — положительным числом ($b > 0$), то арифметический квадратный корень из этой дроби равен частному от деления арифметического квадратного корня из числителя на арифметический квадратный корень из знаменателя.

Формула этой теоремы выглядит следующим образом:
$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Ответ: Теорема о квадратном корне из дроби: для любых $a \ge 0$ и $b > 0$ справедливо равенство $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

Доказательство теоремы

Чтобы доказать данную теорему, необходимо, исходя из определения арифметического квадратного корня, установить, что выражение $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ удовлетворяет двум условиям:

1. Оно должно быть неотрицательным.

2. Его квадрат должен быть равен подкоренному выражению $\frac{a}{b}$.

Рассмотрим каждое условие отдельно при заданных ограничениях $a \ge 0$ и $b > 0$.

1. Проверка на неотрицательность.
По условию $a \ge 0$, следовательно, по определению арифметического корня, $\sqrt{a} \ge 0$.
По условию $b > 0$, следовательно, $\sqrt{b} > 0$.
Частное от деления неотрицательного числа ($\sqrt{a}$) на положительное число ($\sqrt{b}$) является неотрицательным числом. Таким образом, $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \ge 0$. Первое условие выполняется.

2. Проверка возведением в квадрат.
Возведем выражение $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ в квадрат, используя свойство степени для дроби: $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$.
$(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}})^2 = \frac{(\sqrt{a})^2}{(\sqrt{b})^2}$

Согласно определению арифметического квадратного корня, для любого неотрицательного числа $k$ верно, что $(\sqrt{k})^2 = k$. Применяя это к нашему выражению, получаем:
$(\sqrt{a})^2 = a$
$(\sqrt{b})^2 = b$

Подставим эти значения обратно в дробь:
$(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}})^2 = \frac{a}{b}$
Второе условие также выполняется.

Поскольку оба условия определения арифметического квадратного корня выполнены, мы доказали, что равенство $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ верно.

Ответ: Доказательство основано на определении арифметического квадратного корня. Мы показали, что при $a \ge 0$ и $b > 0$ выражение $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ неотрицательно и его квадрат равен $\frac{a}{b}$, что и доказывает теорему.