Страница 101 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

421. Упростите выражение:

а) $\sqrt{75} + \sqrt{48} - \sqrt{300};$

б) $3\sqrt{8} - \sqrt{50} + 2\sqrt{18};$

в) $\sqrt{242} - \sqrt{200} + \sqrt{8};$

г) $\sqrt{75} - 0,1\sqrt{300} - \sqrt{27};$

д) $\sqrt{98} - \sqrt{72} + 0,5\sqrt{8}.$

а) $\sqrt{75} + \sqrt{48} - \sqrt{300}$

Чтобы упростить это выражение, необходимо вынести множитель из-под знака каждого корня. Для этого разложим подкоренные числа на множители, один из которых является полным квадратом.

Разложим каждое число:

• $75 = 25 \cdot 3 = 5^2 \cdot 3$
• $48 = 16 \cdot 3 = 4^2 \cdot 3$
• $300 = 100 \cdot 3 = 10^2 \cdot 3$

Теперь вынесем множители из-под знака корня:

• $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$
• $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$
• $\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{3} = 10\sqrt{3}$

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$5\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 10\sqrt{3}$

Теперь сложим и вычтем коэффициенты при $\sqrt{3}$:

$(5 + 4 - 10)\sqrt{3} = (9 - 10)\sqrt{3} = -1\sqrt{3} = -\sqrt{3}$

Ответ: $-\sqrt{3}$.

б) $3\sqrt{8} - \sqrt{50} + 2\sqrt{18}$

Упростим каждый член выражения, вынеся множители из-под знака корня.

Разложим подкоренные выражения:

• $8 = 4 \cdot 2 = 2^2 \cdot 2$
• $50 = 25 \cdot 2 = 5^2 \cdot 2$
• $18 = 9 \cdot 2 = 3^2 \cdot 2$

Упрощаем каждый член:

• $3\sqrt{8} = 3\sqrt{4 \cdot 2} = 3 \cdot 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$
• $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$
• $2\sqrt{18} = 2\sqrt{9 \cdot 2} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

Подставляем упрощенные члены обратно в выражение:

$6\sqrt{2} - 5\sqrt{2} + 6\sqrt{2}$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(6 - 5 + 6)\sqrt{2} = (1 + 6)\sqrt{2} = 7\sqrt{2}$

Ответ: $7\sqrt{2}$.

в) $\sqrt{242} - \sqrt{200} + \sqrt{8}$

Сначала упростим каждый корень, вынеся из-под него множитель, являющийся полным квадратом.

Разложим подкоренные выражения:

• $242 = 121 \cdot 2 = 11^2 \cdot 2$
• $200 = 100 \cdot 2 = 10^2 \cdot 2$
• $8 = 4 \cdot 2 = 2^2 \cdot 2$

Выносим множители:

• $\sqrt{242} = \sqrt{121 \cdot 2} = 11\sqrt{2}$
• $\sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$
• $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$

Подставим упрощенные значения в выражение:

$11\sqrt{2} - 10\sqrt{2} + 2\sqrt{2}$

Выполним действия с коэффициентами при $\sqrt{2}$:

$(11 - 10 + 2)\sqrt{2} = (1 + 2)\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$

Ответ: $3\sqrt{2}$.

г) $\sqrt{75} - 0,1\sqrt{300} - \sqrt{27}$

Упростим каждый член выражения, вынося множители из-под знака корня. Заметим, что все подкоренные числа делятся на 3.

Разложим подкоренные выражения:

• $75 = 25 \cdot 3 = 5^2 \cdot 3$
• $300 = 100 \cdot 3 = 10^2 \cdot 3$
• $27 = 9 \cdot 3 = 3^2 \cdot 3$

Упрощаем каждый член:

• $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$
• $0,1\sqrt{300} = 0,1\sqrt{100 \cdot 3} = 0,1 \cdot 10\sqrt{3} = 1\sqrt{3} = \sqrt{3}$
• $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$

Подставим упрощенные члены в исходное выражение:

$5\sqrt{3} - \sqrt{3} - 3\sqrt{3}$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(5 - 1 - 3)\sqrt{3} = (4 - 3)\sqrt{3} = 1\sqrt{3} = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$.

д) $\sqrt{98} - \sqrt{72} + 0,5\sqrt{8}$

Упростим каждый корень в выражении, вынеся множители. Все подкоренные числа делятся на 2.

Разложим подкоренные выражения на множители:

• $98 = 49 \cdot 2 = 7^2 \cdot 2$
• $72 = 36 \cdot 2 = 6^2 \cdot 2$
• $8 = 4 \cdot 2 = 2^2 \cdot 2$

Упрощаем каждый член выражения:

• $\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}$
• $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$
• $0,5\sqrt{8} = 0,5\sqrt{4 \cdot 2} = 0,5 \cdot 2\sqrt{2} = 1\sqrt{2} = \sqrt{2}$

Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$7\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + \sqrt{2}$

Выполним действия с коэффициентами:

$(7 - 6 + 1)\sqrt{2} = (1 + 1)\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

Ответ: $2\sqrt{2}$.