Страница 105 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

442. Площадь кольца вычисляется по формуле $S = \pi(R^2 - r^2)$, где $R$ — радиус внешнего круга, а $r$ — радиус внутреннего круга.

Выразите $R$ через $S$ и $r$.

Чтобы выразить радиус внешнего круга $R$ из формулы площади кольца $S = \pi(R^2 - r^2)$, необходимо последовательно выполнить алгебраические преобразования для изоляции переменной $R$.

1. Исходная формула:
$S = \pi(R^2 - r^2)$

2. Разделим обе части уравнения на $\pi$, чтобы убрать множитель перед скобкой:
$\frac{S}{\pi} = R^2 - r^2$

3. Теперь перенесём $r^2$ в левую часть уравнения (с противоположным знаком), чтобы оставить $R^2$ в правой части в одиночестве:
$\frac{S}{\pi} + r^2 = R^2$

4. Для того чтобы найти $R$, извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку радиус $R$ — это геометрическая величина (длина), он не может быть отрицательным, поэтому мы рассматриваем только положительное значение корня.
$R = \sqrt{\frac{S}{\pi} + r^2}$

Ответ: $R = \sqrt{\frac{S}{\pi} + r^2}$

443. Напишите для каждой прямой, изображённой на рисунке 20, уравнение, графиком которого является эта прямая.

Линия a

$y = \frac{1}{5}x - 2$

Линия b

$y = -2x + 1$

Рис. 20

a Общий вид уравнения прямой — $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент (тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси OX), а $b$ — ордината точки пересечения прямой с осью OY.

1. Найдем коэффициент $b$ для прямой $a$. График прямой $a$ пересекает ось ординат (OY) в точке $(0, -2)$. Следовательно, $b = -2$.

2. Для нахождения углового коэффициента $k$ выберем на прямой $a$ две точки, координаты которых легко определить по сетке. Возьмем точку пересечения с осью OY, $(x_1, y_1) = (0, -2)$, и еще одну точку, например, $(x_2, y_2) = (8, 0)$.

Угловой коэффициент вычисляется по формуле: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Подставим координаты наших точек: $k = \frac{0 - (-2)}{8 - 0} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

3. Теперь подставим найденные значения $k = \frac{1}{4}$ и $b = -2$ в общее уравнение прямой: $y = \frac{1}{4}x - 2$.

Ответ: $y = \frac{1}{4}x - 2$

b Аналогично найдем уравнение для прямой $b$.

1. Найдем коэффициент $b$. График прямой $b$ пересекает ось OY в точке $(0, 1)$. Значит, $b = 1$.

2. Для нахождения углового коэффициента $k$ выберем две точки на прямой $b$. Возьмем точку пересечения с осью OY, $(x_1, y_1) = (0, 1)$, и еще одну точку, например, $(x_2, y_2) = (1, -1)$.

3. Вычислим угловой коэффициент по той же формуле: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-1 - 1}{1 - 0} = \frac{-2}{1} = -2$.

4. Подставим найденные значения $k = -2$ и $b = 1$ в общее уравнение прямой: $y = -2x + 1$.

Ответ: $y = -2x + 1$

1 На примере выражения $3\sqrt{a}$ покажите, как можно внести множитель под знак корня.

Чтобы внести множитель под знак корня, нужно возвести этот множитель в степень, равную показателю корня, и записать результат под знаком корня в качестве множителя.

В выражении $3\sqrt{a}$ мы имеем дело с квадратным корнем, показатель которого равен 2. Множитель, который нужно внести под знак корня, — это 3.

Следуем алгоритму:

1. Возводим множитель 3 в степень 2 (показатель корня): $3^2 = 9$.

2. Записываем полученный результат (9) под знак корня, умножая его на уже имеющееся подкоренное выражение ($a$).

Таким образом, преобразование выглядит следующим образом:

$3\sqrt{a} = \sqrt{3^2 \cdot a} = \sqrt{9a}$

Данное преобразование верно при условии, что исходное выражение имеет смысл, то есть $a \ge 0$.

Ответ: $3\sqrt{a} = \sqrt{9a}$.

3 На примере выражений $\frac{1}{\sqrt{a}}$ и $\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ покажите, как можно освободиться от иррациональности в знаменателе дроби.

Освобождение от иррациональности в знаменателе — это преобразование дроби к такому виду, чтобы в ее знаменателе не содержалось знаков корня (радикалов). Это достигается путем умножения числителя и знаменателя на одно и то же выражение, которое подбирается таким образом, чтобы после умножения знаменатель стал рациональным числом. Рассмотрим два основных случая на предложенных примерах.

Для выражения $\frac{1}{\sqrt{a}}$

В данном случае знаменатель состоит из одного квадратного корня. Чтобы избавиться от иррациональности, нужно домножить числитель и знаменатель на это же иррациональное выражение, то есть на $\sqrt{a}$. Это преобразование основано на свойстве арифметического квадратного корня: $(\sqrt{a})^2 = a$ (при $a \ge 0$).

Выполним умножение:

$\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{1 \cdot \sqrt{a}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{(\sqrt{a})^2} = \frac{\sqrt{a}}{a}$

В результате мы получили дробь с рациональным знаменателем $a$. Данное преобразование имеет смысл при $a > 0$.

Ответ: $\frac{\sqrt{a}}{a}$

Для выражения $\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$

Здесь знаменатель представляет собой сумму двух квадратных корней. Простое умножение на себя не устранит иррациональность. В таких случаях используется метод умножения на сопряженное выражение. Сопряженным для суммы $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$ является разность $(\sqrt{a} - \sqrt{b})$, и наоборот. Этот метод основан на формуле сокращенного умножения "разность квадратов": $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.

Применим эту формулу к нашему знаменателю:

$(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = a - b$

Теперь домножим числитель и знаменатель исходной дроби на сопряженное выражение $(\sqrt{a} - \sqrt{b})$:

$\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}$

В результате в знаменателе получилось рациональное выражение $a - b$. Данное преобразование имеет смысл при $a \ge 0$, $b \ge 0$ и $a \ne b$.

Ответ: $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}$

2. На примере выражения $\sqrt{8a}$ покажите, как можно вынести множитель за знак корня.

Чтобы вынести множитель за знак корня, необходимо представить подкоренное выражение в виде произведения множителей таким образом, чтобы из одного или нескольких из них можно было извлечь корень. Рассмотрим этот процесс на примере выражения $\sqrt{8a}$.

Шаг 1: Разложение подкоренного выражения на множители. Подкоренное выражение — это $8a$. Наша задача — найти в нем множитель, который является полным квадратом. Разложим число 8 на множители. Его можно представить как $4 \cdot 2$. Множитель 4 является полным квадратом, так как $2^2 = 4$. Таким образом, мы можем переписать выражение под корнем: $\sqrt{8a} = \sqrt{4 \cdot 2 \cdot a}$

Шаг 2: Применение свойства корня из произведения. Согласно свойству корня, корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел: $\sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$ (при $x \ge 0, y \ge 0$). Применим это свойство к нашему выражению, сгруппировав множители: $\sqrt{4 \cdot 2a} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2a}$

Шаг 3: Извлечение корня и запись результата. Теперь вычислим значение корня из полного квадрата: $\sqrt{4} = 2$. Полученное число 2 выносится за знак корня и становится коэффициентом перед ним. Множители, из которых корень не извлекается ($2a$), остаются под знаком корня. В результате получаем: $2\sqrt{2a}$

Таким образом, мы продемонстрировали, как вынести множитель за знак корня. Вся последовательность действий выглядит так: $\sqrt{8a} = \sqrt{4 \cdot 2a} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2a} = 2\sqrt{2a}$.

Ответ: $2\sqrt{2a}$