Номер 3, страница 105 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 7. Применение свойств арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 3, страница 105.

3 На примере выражений $\frac{1}{\sqrt{a}}$ и $\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ покажите, как можно освободиться от иррациональности в знаменателе дроби.

Освобождение от иррациональности в знаменателе — это преобразование дроби к такому виду, чтобы в ее знаменателе не содержалось знаков корня (радикалов). Это достигается путем умножения числителя и знаменателя на одно и то же выражение, которое подбирается таким образом, чтобы после умножения знаменатель стал рациональным числом. Рассмотрим два основных случая на предложенных примерах.

Для выражения $\frac{1}{\sqrt{a}}$

В данном случае знаменатель состоит из одного квадратного корня. Чтобы избавиться от иррациональности, нужно домножить числитель и знаменатель на это же иррациональное выражение, то есть на $\sqrt{a}$. Это преобразование основано на свойстве арифметического квадратного корня: $(\sqrt{a})^2 = a$ (при $a \ge 0$).

Выполним умножение:

$\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{1 \cdot \sqrt{a}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{(\sqrt{a})^2} = \frac{\sqrt{a}}{a}$

В результате мы получили дробь с рациональным знаменателем $a$. Данное преобразование имеет смысл при $a > 0$.

Ответ: $\frac{\sqrt{a}}{a}$

Для выражения $\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$

Здесь знаменатель представляет собой сумму двух квадратных корней. Простое умножение на себя не устранит иррациональность. В таких случаях используется метод умножения на сопряженное выражение. Сопряженным для суммы $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$ является разность $(\sqrt{a} - \sqrt{b})$, и наоборот. Этот метод основан на формуле сокращенного умножения "разность квадратов": $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.

Применим эту формулу к нашему знаменателю:

$(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = a - b$

Теперь домножим числитель и знаменатель исходной дроби на сопряженное выражение $(\sqrt{a} - \sqrt{b})$:

$\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}$

В результате в знаменателе получилось рациональное выражение $a - b$. Данное преобразование имеет смысл при $a \ge 0$, $b \ge 0$ и $a \ne b$.

Ответ: $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}$