Номер 450, страница 108 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Преобразование двойных радикалов. § 7. Применение свойств арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 450, страница 108.

450. Найдите значение выражения:

$\sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}$

Чтобы найти значение выражения, будем упрощать его по частям. Исходное выражение:

$ \sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}} $

Сначала перемножим второй и третий множители. Воспользуемся свойством корней $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} $:

$ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}} = \sqrt{(2+\sqrt{2+\sqrt{3}}) \cdot (2-\sqrt{2+\sqrt{3}})} $

Выражение под внешним корнем является произведением суммы и разности двух чисел, что соответствует формуле разности квадратов $ (x+y)(x-y) = x^2 - y^2 $. В нашем случае $ x=2 $ и $ y=\sqrt{2+\sqrt{3}} $.

Применим эту формулу:

$ (2+\sqrt{2+\sqrt{3}}) \cdot (2-\sqrt{2+\sqrt{3}}) = 2^2 - (\sqrt{2+\sqrt{3}})^2 = 4 - (2+\sqrt{3}) = 4 - 2 - \sqrt{3} = 2 - \sqrt{3} $

Таким образом, произведение второго и третьего множителей равно $ \sqrt{2-\sqrt{3}} $.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$ \sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{3}} $

Снова применим свойство $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} $ и формулу разности квадратов:

$ \sqrt{(2+\sqrt{3}) \cdot (2-\sqrt{3})} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 - 3} = \sqrt{1} = 1 $

Ответ: 1